Se o campo elétrico de um dado ponto for igual a zero, o potencial elétrico nesse ponto também será igual a zero?
4. Em determinada região do espaço, o potencial é dado por
, em que
e
são constantes positivas. Qual das seguintes afirmações sobre o campo elétrico
nessa regiāo do espaço está correta? (Pode haver mais de uma resposta correta.) (i) Aumentar o valor de A aumentará o valor de
em todos os pontos. (ii) Aumentar o valor de
diminuirá o valor de
em todos os pon tos. (iii)
nāo possui componentes z; (iv) o campo elétrico é igual a zero na origem (
).
4. Em determinada região do espaço, o potencial é dado por
Passo 1
O enunciado traz duas perguntas distintas. Primeiro: “Se o campo elétrico de um dado ponto for igual a zero, o potencial elétrico nesse ponto também será igual a zero?” Segundo (questão 4): numa região o potencial é dado por
onde
são constantes positivas. Pergunta-se quais das afirmações abaixo sobre o campo elétrico
nessa região são corretas (pode haver mais de uma correta):
(i) Aumentar o valor de aumentará o valor de
em todos os pontos.
(ii) Aumentar o valor de diminuirá o valor de
em todos os pontos.
(iii) não possui componente
.
(iv) o campo elétrico é igual a zero na origem .
(i) Aumentar o valor de
(ii) Aumentar o valor de
(iii)
(iv) o campo elétrico é igual a zero na origem
As informações relevantes dadas são: a expressão analítica de
(note que não aparece
explicitamente) e que
. Não há outras informações escondidas.
Passo 2
Primeiro, a relação matemática entre potencial elétrico
e campo elétrico
: por definição
Aqui
(lê-se "gradiente de
") é o vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação às coordenadas:
Explicando devagar: a componente
do gradiente é a taxa de variação de
quando só mudamos
(mantendo
fixos); a componente
é análoga; e a componente
é a taxa de variação em
. O sinal menos significa que o campo aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial.
Uma consequência prática e muito importante: se
tem uma adição constante (por exemplo
e
com
constante), essa constante some ao calcular derivadas, então o gradiente e portanto
não mudam. Em palavras simples: adicionar uma constante ao potencial não altera o campo elétrico.
Passo 3
Resposta à primeira pergunta (intuitiva e com exemplo): se
em um ponto é zero, isso não implica que
nesse ponto seja zero. Porque
significa
naquele ponto, ou seja, o potencial tem um ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela) ali — mas o valor numérico do potencial naquele ponto pode ser qualquer número. Exemplos concretos:
- Potencial uniforme
em toda a região: então e em todos os pontos, mas vale , não zero. - Potencial
: no ponto temos (e análogos para ), logo , porém .
Portanto a resposta curta: não,
num ponto não implica
nesse ponto.
Passo 4
Agora resolvemos a questão 4 usando a relação
. Primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Dado
temos:
porque
não depende de
(derivada de uma constante em relação a
é zero). Expliquei cada termo:
é constante → derivada zero;
→ derivada
;
→ derivada em
zero e em
é
;
→ derivada parcial em
é
, em
é
.
Então o campo elétrico é
Passo 5
Análise das afirmativas (i) e (ii): ambas falam do efeito de aumentar
sobre
. Observe na expressão do gradiente que
não aparece em nenhuma das derivadas parciais (pois
é constante). Logo
é independente de
. Consequência:
- Aumentar
não altera em nenhum ponto. Portanto (i) é falsa e (ii) também é falsa.
Uma forma rápida de ver isso: como
é uma constante aditiva em
, ela some quando derivamos; o campo depende só das variações de
, não do nível absoluto.
Passo 6
Análise da afirmativa (iii): da expressão de
acima a componente
é explicitamente
:
Portanto (iii) é verdadeira. Interpretação física: se
não varia quando faço deslocamento em
, não existe força elétrica na direção
.
Passo 7
Análise da afirmativa (iv): avaliamos
na origem
. Substituindo:
Como
pelas hipóteses,
. Logo
e (iv) é falsa.
Passo 8
Conclusão final sobre as alternativas: apenas a afirmativa (iii) está correta; (i), (ii) e (iv) são falsas. Também respondi a primeira pergunta: o fato de
em um ponto não implica que
nesse ponto.
Resposta
Não.
(iii)
(iii)