Se o campo elétrico de um dado ponto for igual a zero, o potencial elétrico nesse ponto também será igual a zero?
4. Em determinada região do espaço, o potencial é dado por V=A+B x+C y^{3}+D x y, em que A, B, C e D são constantes positivas. Qual das seguintes afirmações sobre o campo elétrico \vec{E} nessa regiāo do espaço está correta? (Pode haver mais de uma resposta correta.) (i) Aumentar o valor de A aumentará o valor de \vec{E} em todos os pontos. (ii) Aumentar o valor de A diminuirá o valor de \vec{E} em todos os pon tos. (iii) \vec{E} nāo possui componentes z; (iv) o campo elétrico é igual a zero na origem ( x=0, y=0, z=0 ).

Passo 1

O enunciado traz duas perguntas distintas. Primeiro: “Se o campo elétrico de um dado ponto for igual a zero, o potencial elétrico nesse ponto também será igual a zero?” Segundo (questão 4): numa região o potencial é dado por
V = A + B x + C y^{3} + D x y,
onde A,B,C,D são constantes positivas. Pergunta-se quais das afirmações abaixo sobre o campo elétrico \vec{E} nessa região são corretas (pode haver mais de uma correta):
(i) Aumentar o valor de A aumentará o valor de \vec{E} em todos os pontos.
(ii) Aumentar o valor de A diminuirá o valor de \vec{E} em todos os pontos.
(iii) \vec{E} não possui componente z.
(iv) o campo elétrico é igual a zero na origem (x=0,y=0,z=0).
As informações relevantes dadas são: a expressão analítica de V(x,y,z) (note que não aparece z explicitamente) e que A,B,C,D>0. Não há outras informações escondidas.

Passo 2

Primeiro, a relação matemática entre potencial elétrico V e campo elétrico \vec{E}: por definição
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V (lê-se "gradiente de V") é o vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação às coordenadas:
\nabla V = \Bigl(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr).
Explicando devagar: a componente x do gradiente é a taxa de variação de V quando só mudamos x (mantendo y,z fixos); a componente y é análoga; e a componente z é a taxa de variação em z. O sinal menos significa que o campo aponta na direção de decrescimento mais rápido do potencial.
Uma consequência prática e muito importante: se V tem uma adição constante (por exemplo V e V+C com C constante), essa constante some ao calcular derivadas, então o gradiente e portanto \vec{E} não mudam. Em palavras simples: adicionar uma constante ao potencial não altera o campo elétrico.

Passo 3

Resposta à primeira pergunta (intuitiva e com exemplo): se \vec{E} em um ponto é zero, isso não implica que V nesse ponto seja zero. Porque \vec{E}=0 significa \nabla V=0 naquele ponto, ou seja, o potencial tem um ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de sela) ali — mas o valor numérico do potencial naquele ponto pode ser qualquer número. Exemplos concretos:
  • Potencial uniforme V=5 em toda a região: então \nabla V=0 e \vec{E}=0 em todos os pontos, mas V vale 5, não zero.
  • Potencial V(x,y,z)=10 - x^{2}-y^{2}-z^{2}: no ponto (0,0,0) temos \frac{\partial V}{\partial x}=-2x=0 (e análogos para y,z), logo \vec{E}(0,0,0)=0, porém V(0,0,0)=10\neq 0.
Portanto a resposta curta: não, \vec{E}=0 num ponto não implica V=0 nesse ponto.

Passo 4

Agora resolvemos a questão 4 usando a relação \vec{E} = -\nabla V. Primeiro calculamos as derivadas parciais de V. Dado
V(x,y,z) = A + B x + C y^{3} + D x y,
temos:
\frac{\partial V}{\partial x} = B + D y,
\frac{\partial V}{\partial y} = 3 C y^{2} + D x,
\frac{\partial V}{\partial z} = 0,
porque V não depende de z (derivada de uma constante em relação a z é zero). Expliquei cada termo: A é constante → derivada zero; B x → derivada B; C y^{3} → derivada em x zero e em y é 3C y^{2}; D x y → derivada parcial em x é D y, em y é D x.
Então o campo elétrico é
\vec{E}(x,y,z) = -\nabla V = -\bigl(B + D y,\; 3 C y^{2} + D x,\; 0\bigr).

Passo 5

Análise das afirmativas (i) e (ii): ambas falam do efeito de aumentar A sobre \vec{E}. Observe na expressão do gradiente que A não aparece em nenhuma das derivadas parciais (pois A é constante). Logo \vec{E} é independente de A. Consequência:
  • Aumentar A não altera \vec{E} em nenhum ponto. Portanto (i) é falsa e (ii) também é falsa.
Uma forma rápida de ver isso: como A é uma constante aditiva em V, ela some quando derivamos; o campo depende só das variações de V, não do nível absoluto.

Passo 6

Análise da afirmativa (iii): da expressão de \vec{E} acima a componente z é explicitamente 0:
E_z = 0.
Portanto (iii) é verdadeira. Interpretação física: se V não varia quando faço deslocamento em z, não existe força elétrica na direção z.

Passo 7

Análise da afirmativa (iv): avaliamos \vec{E} na origem (x=0,y=0,z=0). Substituindo:
E_x(0,0,0) = -(B + D\cdot 0) = -B,
E_y(0,0,0) = -\bigl(3C\cdot 0^{2} + D\cdot 0\bigr) = 0,
E_z(0,0,0) = 0.
Como B>0 pelas hipóteses, E_x(0,0,0)=-B\neq 0. Logo \vec{E}(0,0,0)\neq 0 e (iv) é falsa.

Passo 8

Conclusão final sobre as alternativas: apenas a afirmativa (iii) está correta; (i), (ii) e (iv) são falsas. Também respondi a primeira pergunta: o fato de \vec{E}=0 em um ponto não implica que V=0 nesse ponto.

Resposta

Não.
(iii)

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