Sabendo que
é uma solução da equação
encontre a solução geral dessa equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é uma solução. A pergunta é: encontre a solução geral dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é homogênea e de ordem quatro (tem derivada até a quarta).
- Uma função explícita —
— é indicada como solução. - Precisamos determinar a família completa de soluções (a solução geral), isto é, a combinação linear de quatro funções independentes que formam a base do espaço de soluções.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): vamos procurar raízes do polinômio característico associado à equação diferencial de coeficientes constantes. Essa é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes porque transforma a equação diferencial numa equação algébrica cuja solução nos dá expoentes das soluções da forma
. Como o enunciado já nos deu
como solução, isso indica que
devem ser raízes do polinômio característico (explico o porquê no próximo passo).
Passo 3
Por que
implica
são raízes. Raciocínio: a função
é a parte real de
. Se uma equação linear com coeficientes reais tem
como solução, suas partes real e imaginária (
e
) também são soluções independentes. Portanto, a presença de
como solução implica que
(e por conjugação complexa
) é raiz do polinômio característico.
Passo 4
Escrevemos o polinômio característico associado substituindo
por
. Assim o polinômio é
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Passo 5
Como vimos que
são raízes, o polinômio deve ser divisível por
. Vamos dividir
por
Fazendo a divisão (longa):
- Primeiro termo:
. Multiplicando: . Subtraindo obtemos . - Próximo termo:
. Multiplicando: . Subtraindo obtemos . - Próximo termo:
. Multiplicando: . Subtraindo obtemos resto zero.
Portanto a fatoração é
Passo 6
Agora resolvemos
pelo discriminante. Aplicando a fórmula quadrática:
Simplificando
, obtemos
Passo 7
Resumo das raízes do polinômio característico:
Cada par conjugado de raízes complexas
gera duas soluções reais linearmente independentes da forma
e
. Isso vem de escrever
e tomar as partes real e imaginária (ambas são soluções reais).
Passo 8
Aplicando a regra acima aos pares de raízes:
- Para
(ou , ) obtemos as soluções e . - Para
(ou , ) obtemos as soluções e .
Como a equação é de ordem 4, a solução geral é a combinação linear de quatro soluções independentes acima.
Passo 9
Escrevendo a solução geral com constantes arbitrárias
: