Sabendo que y=\cos (x) é uma solução da equação
2 y^{(4)}+8 y^{\prime \prime \prime}+16 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+14 y=0
encontre a solução geral dessa equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,y^{(4)}+8\,y^{\prime\prime\prime}+16\,y^{\prime\prime}+8\,y^{\prime}+14\,y=0
e informa que \displaystyle y=\cos(x) é uma solução. A pergunta é: encontre a solução geral dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é homogênea e de ordem quatro (tem derivada até a quarta).
  • Uma função explícita — \cos(x) — é indicada como solução.
  • Precisamos determinar a família completa de soluções (a solução geral), isto é, a combinação linear de quatro funções independentes que formam a base do espaço de soluções.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): vamos procurar raízes do polinômio característico associado à equação diferencial de coeficientes constantes. Essa é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes porque transforma a equação diferencial numa equação algébrica cuja solução nos dá expoentes das soluções da forma e^{rx}. Como o enunciado já nos deu \cos(x) como solução, isso indica que r=\pm i devem ser raízes do polinômio característico (explico o porquê no próximo passo).

Passo 3

Por que \cos(x) implica r=\pm i são raízes. Raciocínio: a função \cos(x) é a parte real de e^{ix}. Se uma equação linear com coeficientes reais tem e^{ix} como solução, suas partes real e imaginária ( \cos x e \sin x) também são soluções independentes. Portanto, a presença de \cos(x) como solução implica que r=i (e por conjugação complexa r=-i) é raiz do polinômio característico.

Passo 4

Escrevemos o polinômio característico associado substituindo y^{(k)} por r^k. Assim o polinômio é
2 r^4 + 8 r^3 + 16 r^2 + 8 r + 14 = 0.
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
r^4 + 4 r^3 + 8 r^2 + 4 r + 7 = 0.

Passo 5

Como vimos que r=\pm i são raízes, o polinômio deve ser divisível por (r^2+1). Vamos dividir
r^4 + 4 r^3 + 8 r^2 + 4 r + 7
por
r^2+1.
Fazendo a divisão (longa):
  • Primeiro termo: (r^4)/(r^2)=r^2. Multiplicando: r^2(r^2+1)=r^4+r^2. Subtraindo obtemos 4r^3+7r^2+4r+7.
  • Próximo termo: (4r^3)/(r^2)=4r. Multiplicando: 4r(r^2+1)=4r^3+4r. Subtraindo obtemos 7r^2+7.
  • Próximo termo: (7r^2)/(r^2)=7. Multiplicando: 7(r^2+1)=7r^2+7. Subtraindo obtemos resto zero.
    Portanto a fatoração é
r^4 + 4 r^3 + 8 r^2 + 4 r + 7 = (r^2+1)(r^2+4r+7).

Passo 6

Agora resolvemos r^2+4r+7=0 pelo discriminante. Aplicando a fórmula quadrática:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot 1\cdot 7}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2}.
Simplificando \sqrt{-12} = i\sqrt{12} = i\cdot 2\sqrt{3}, obtemos
r = \frac{-4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2} = -2 \pm i\sqrt{3}.

Passo 7

Resumo das raízes do polinômio característico:
r = i,\quad r = -i,\quad r = -2 + i\sqrt{3},\quad r = -2 - i\sqrt{3}.
Cada par conjugado de raízes complexas a\pm i b gera duas soluções reais linearmente independentes da forma e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx). Isso vem de escrever e^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos bx + i\sin bx) e tomar as partes real e imaginária (ambas são soluções reais).

Passo 8

Aplicando a regra acima aos pares de raízes:
  • Para r=\pm i (ou a=0, b=1) obtemos as soluções \cos x e \sin x.
  • Para r=-2\pm i\sqrt{3} (ou a=-2, b=\sqrt{3}) obtemos as soluções e^{-2x}\cos(\sqrt{3}x) e e^{-2x}\sin(\sqrt{3}x).
Como a equação é de ordem 4, a solução geral é a combinação linear de quatro soluções independentes acima.

Passo 9

Escrevendo a solução geral com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3,C_4:
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + e^{-2x}\!\left(C_3\cos\!\big(\sqrt{3}\,x\big) + C_4\sin\!\big(\sqrt{3}\,x\big)\right).

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + e^{-2x}\!\left(C_3\cos\!\big(\sqrt{3}\,x\big) + C_4\sin\!\big(\sqrt{3}\,x\big)\right)

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