Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função cuja lei é f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}.
Informações dadas: a função envolve duas raízes quadradas reais — \sqrt{x-2} no numerador e \sqrt{x+2} no denominador — e uma divisão. O domínio deve ser o conjunto de todos os números reais x para os quais essa expressão está bem definida como número real.

Passo 2

Regras que devemos aplicar (explicação didática):
  1. Para a raiz quadrada real \sqrt{\,\cdot\,} a variável dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero, isto é, se temos \sqrt{g(x)} então precisamos de g(x)\ge 0. Vou usar isso para o numerador.
  2. Para uma fração \dfrac{A}{B} o denominador não pode ser zero. Aqui o denominador é \sqrt{x+2}; além de exigir que o radicando seja não negativo, precisamos que a raiz não seja zero, ou seja, \sqrt{x+2}\neq 0. Como a raiz é sempre \ge 0, a condição \sqrt{x+2}\neq 0 equivale a exigir que o radicando seja estritamente positivo: x+2>0.

Passo 3

Aplique as condições às duas partes da função:
  • Numerador: exigir que o radicando seja não negativo:
x-2 \ge 0.
Resolvendo isso, subtraindo 2 dos dois lados, obtemos
x \ge 2.
  • Denominador: exigir que o radicando seja estritamente positivo:
x+2 > 0.
Resolvendo, subtraindo 2 dos dois lados, obtemos
x > -2.

Passo 4

Agora precisamos da interseção (valores que satisfaçam ambas as condições simultaneamente):
\{x\mid x\ge 2\}\;\cap\;\{x\mid x>-2\}.
Observe que todo x que satisfaz x\ge 2 automaticamente satisfaz x>-2 (pois 2>-2). Portanto a interseção é simplesmente
\{x\mid x\ge 2\}.

Passo 5

Verificação rápida por amostragem (para ganhar confiança):
  • Em x=2 temos \sqrt{2-2}=\sqrt{0}=0 no numerador e \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 no denominador, então f(2)=0/2=0 está definido — ótimo, o limite inferior 2 é permitido.
  • Em x=1 teríamos \sqrt{1-2}=\sqrt{-1}, que não é real — portanto x=1 não pode estar no domínio. Isso confirma que valores menores que 2 são proibidos.

Passo 6

Conclusão: o domínio da função é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a 2. Em notação de intervalo, isso é [2,\infty).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=[2,\infty)

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