Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função cuja lei é
.
Informações dadas: a função envolve duas raízes quadradas reais — no numerador e
no denominador — e uma divisão. O domínio deve ser o conjunto de todos os números reais
para os quais essa expressão está bem definida como número real.
Informações dadas: a função envolve duas raízes quadradas reais —
Passo 2
Regras que devemos aplicar (explicação didática):
- Para a raiz quadrada real
a variável dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero, isto é, se temos então precisamos de . Vou usar isso para o numerador. - Para uma fração
o denominador não pode ser zero. Aqui o denominador é ; além de exigir que o radicando seja não negativo, precisamos que a raiz não seja zero, ou seja, . Como a raiz é sempre , a condição equivale a exigir que o radicando seja estritamente positivo: .
Passo 3
Aplique as condições às duas partes da função:
- Numerador: exigir que o radicando seja não negativo:
Resolvendo isso, subtraindo
dos dois lados, obtemos
- Denominador: exigir que o radicando seja estritamente positivo:
Resolvendo, subtraindo
dos dois lados, obtemos
Passo 4
Agora precisamos da interseção (valores que satisfaçam ambas as condições simultaneamente):
Observe que todo
que satisfaz
automaticamente satisfaz
(pois
). Portanto a interseção é simplesmente
Passo 5
Verificação rápida por amostragem (para ganhar confiança):
- Em
temos no numerador e no denominador, então está definido — ótimo, o limite inferior é permitido. - Em
teríamos , que não é real — portanto não pode estar no domínio. Isso confirma que valores menores que são proibidos.
Passo 6
Conclusão: o domínio da função é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a
. Em notação de intervalo, isso é
.