Expresse o número como uma razão de inteiros.
(b) 0, \overline{516}=0,516516516 \ldots
Passo 1
O enunciado pede que a gente expresse como uma razão de inteiros o número 0,\overline{516}, ou seja o decimal periódico 0,516516516\ldots.
Informações dadas: o número tem parte decimal repetitiva com o bloco 516 repetindo indefinidamente; o período tem exatamente 3 dígitos.
Passo 2
Vamos chamar o número de x. Escrevo:
x = 0,\overline{516}
Isto significa x=0,516516516\ldots. Não resolvemos nada ainda, só definimos a incógnita para manipular depois.
Passo 3
Como o período tem 3 dígitos, multiplico x por 10^{3}=1000 para deslocar a vírgula justo um período inteiro e alinhar as repetições:
1000x = 516,516516516\ldots
Repare que a parte decimal de 1000x é exatamente a mesma parte decimal de x (ambas são ,516516\ldots) — isso é a chave do método.
Passo 4
Agora subtraio a equação original da equação multiplicada para eliminar a parte decimal repetida:
1000x - x = 516,516516\ldots - 0,516516\ldots
Do lado esquerdo fica 999x. Do lado direito as partes decimais iguais se cancelam, sobrando apenas 516. Logo:
999x = 516
Passo 5
Isolo x dividindo por 999:
x = \frac{516}{999}
Pronto: já temos x escrito como razão de inteiros. Agora vamos simplificar essa fração para a forma reduzida.
Passo 6
Precisamos calcular o máximo divisor comum (mdc) de 516 e 999 para simplificar. Uso o algoritmo de Euclides:
Para garantir que está irreduzível, posso verificar rapidamente que \gcd(172,333)=1 pelo algoritmo de Euclides (passos rápidos: 333=172\cdot1+161, 172=161\cdot1+11, … até resto 1), então não há fator comum além de 1.
Passo 7
Resumo do método (dica de prova): para um decimal periódico puro 0,\overline{a_1a_2\ldots a_k} você define x, multiplica por 10^{k} para alinhar os períodos, subtrai e resolve a equação linear obtida; depois simplifica a fração pelo mdc.