Expresse o número como uma razão de inteiros.
(b) 0, \overline{516}=0,516516516 \ldots

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse como uma razão de inteiros o número 0,\overline{516}, ou seja o decimal periódico 0,516516516\ldots.
Informações dadas: o número tem parte decimal repetitiva com o bloco 516 repetindo indefinidamente; o período tem exatamente 3 dígitos.

Passo 2

Vamos chamar o número de x. Escrevo:
x = 0,\overline{516}
Isto significa x=0,516516516\ldots. Não resolvemos nada ainda, só definimos a incógnita para manipular depois.

Passo 3

Como o período tem 3 dígitos, multiplico x por 10^{3}=1000 para deslocar a vírgula justo um período inteiro e alinhar as repetições:
1000x = 516,516516516\ldots
Repare que a parte decimal de 1000x é exatamente a mesma parte decimal de x (ambas são ,516516\ldots) — isso é a chave do método.

Passo 4

Agora subtraio a equação original da equação multiplicada para eliminar a parte decimal repetida:
1000x - x = 516,516516\ldots - 0,516516\ldots
Do lado esquerdo fica 999x. Do lado direito as partes decimais iguais se cancelam, sobrando apenas 516. Logo:
999x = 516

Passo 5

Isolo x dividindo por 999:
x = \frac{516}{999}
Pronto: já temos x escrito como razão de inteiros. Agora vamos simplificar essa fração para a forma reduzida.

Passo 6

Precisamos calcular o máximo divisor comum (mdc) de 516 e 999 para simplificar. Uso o algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 999 &= 516\cdot 1 + 483,\\\\ 516 &= 483\cdot 1 + 33,\\\\ 483 &= 33\cdot 14 + 21,\\\\ 33 &= 21\cdot 1 + 12,\\\\ 21 &= 12\cdot 1 + 9,\\\\ 12 &= 9\cdot 1 + 3,\\\\ 9 &= 3\cdot 3 + 0. \end{aligned}
O último resto não nulo é 3, logo \gcd(516,999)=3.
Divido numerador e denominador por 3:
\frac{516}{999}=\frac{516\div 3}{999\div 3}=\frac{172}{333}.
Para garantir que está irreduzível, posso verificar rapidamente que \gcd(172,333)=1 pelo algoritmo de Euclides (passos rápidos: 333=172\cdot1+161, 172=161\cdot1+11, … até resto 1), então não há fator comum além de 1.

Passo 7

Resumo do método (dica de prova): para um decimal periódico puro 0,\overline{a_1a_2\ldots a_k} você define x, multiplica por 10^{k} para alinhar os períodos, subtrai e resolve a equação linear obtida; depois simplifica a fração pelo mdc.

Resposta

\dfrac{172}{333}

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