O campo elétrico \vec{E}(z, t)=12 \pi \cos \left(2 \pi \times 10^{7} t-\beta_{1} z\right) \vec{a}_{x} V / m que se propaga em um meio não-magnético e sem perdas com permissividade relativa \varepsilon_{r}=9 (z<0) incide normalmente a superfície de um material ( z>0 ) com condutividade \sigma=20 \mathrm{mS} / \mathrm{m}, permeabilidade relativa \mu_{r}=2,0 e permissividade relativa \varepsilon_{r}=16. Determine as funções dos campos magnéticos refletidos e transmitidos.
(Gabarito: \quad H_{r}(z, t)=-0,106 \cos \left(2 \pi \times 10^{7} t+0,628 z+171^{\circ}\right) \vec{a}_{y} A / m, \left.H_{t}(z, t)=0,373 \cos \left(2 \pi \times 10^{7} t-1,56 z+31,8^{\circ}\right) \vec{a}_{y} A / m\right)

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana incidente normalmente de z<0 (meio 1) em z=0 sobre um meio condutor sem perdas magnéticas (meio 2) para z>0. A onda incidente é
\vec{E}_i(z,t)=12\pi\cos\!\bigl(2\pi\times10^7\,t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_x\quad(V/m),
com \varepsilon_{r1}=9, \mu_{r1}=1, \sigma_1=0. No meio 2 temos \varepsilon_{r2}=16, \mu_{r2}=2, \sigma=20\,\mathrm{mS/m}.
Vamos calcular os parâmetros de propagação em cada meio, depois os coeficientes de reflexão e transmissão, e finalmente obter \vec H_r(z,t) e \vec H_t(z,t).

Passo 2

Meio 1 (não condutor, \sigma_1=0):
\omega = 2\pi\times10^7\quad(\mathrm{rad/s}),
\beta_1 = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{r1}} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{r1}} = \frac{2\pi\times10^7}{3\times10^8}\,3 =0{,}628\\ \mathrm{rad/m},
\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}} =\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}} =\frac{377}{3}\approx125{,}7\\ \Omega.

Passo 3

Meio 2 (condutor, \sigma=0{,}02 S/m):
\varepsilon_2 = \varepsilon_0\,16,\quad \mu_2 = \mu_0\,2,\quad X = \frac{\sigma}{\omega\varepsilon_2}\approx2{,}248.
Definindo
\sqrt{1 - jX} = \sqrt{\frac{\sqrt{1+X^2}+1}{2}} \;-\;j\,\sqrt{\frac{\sqrt{1+X^2}-1}{2}},
obtemos
\beta_2 = \omega\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}\, \sqrt{\frac{\sqrt{1+X^2}+1}{2}} \approx1{,}56\\ \mathrm{rad/m},
\alpha_2 = \omega\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}\, \sqrt{\frac{\sqrt{1+X^2}-1}{2}} \approx1{,}01\\ \mathrm{Np/m}.

Passo 4

A impedância do meio 2 é complexa:
\eta_2 = \sqrt{\frac{j\omega\mu_2}{\sigma + j\omega\varepsilon_2}} =\bigl|\eta_2\bigr|\,e^{j\varphi_2},
onde
\bigl|\eta_2\bigr| =\sqrt{\frac{\omega\mu_2}{\sqrt{\sigma^2+(\omega\varepsilon_2)^2}}} \approx84{,}94\\ \Omega, \quad \varphi_2=-\tfrac12\arctan\!X\approx-33{,}2^\circ.

Passo 5

Coeficiente de reflexão e transmissão das tensões elétricas:
\Gamma = \frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1} \approx0{,}3568\,e^{-j126{,}1^\circ},
T_E = \frac{2\,\eta_2}{\eta_1+\eta_2} \approx0{,}8412\,e^{-j19{,}8^\circ}.

Passo 6

O campo magnético incidente é
\vec H_i(z,t) = \frac{\vec E_i}{\eta_1} = \frac{12\pi}{125{,}7}\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t-\beta_1 z\bigr)\,\vec a_y \approx0{,}300\,\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t-0{,}628z\bigr)\,\vec a_y.
Para o refletido, \vec H_r = -\Gamma\,\vec H_i pois a onda reflete em - z:
\vec H_r(z,t) \approx -0{,}106\;\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t+0{,}628z+171^\circ\bigr)\,\vec a_y.
Para o transmitido, \vec E_t = T_E\,\vec E_i e \vec H_t=\vec E_t/\eta_2:
|\vec H_t| = \frac{12\pi}{\bigl|\eta_2\bigr|}\;|T_E| \approx0{,}373\quad(A/m),
\vec H_t(z,t) \approx0{,}373\;\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t-1{,}56z+31{,}8^\circ\bigr)\,\vec a_y.

Resposta

\displaystyle \vec H_r(z,t) =-0{,}106\;\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t+0{,}628z+171^\circ\bigr)\,\vec a_y\;A/m, \displaystyle \vec H_t(z,t) =0{,}373\;\cos\!\bigl(2\pi\times10^7t-1{,}56z+31{,}8^\circ\bigr)\,\vec a_y\;A/m.

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