Um fio colocado no eixo z pode ser considerado como infinito e é percorrido por uma corrente no valor I=0,2 A na direção z positiva. Centradas no eixo z, são dispostas três cascas cilíndricas, de modo que cada casca com \rho_{1}=1 c m, \rho_{2}=2 c m e \rho_{3}= 3 cm são percorridas, respectivamente, por correntes de valores K_{1}=0,5 \mathrm{~A} / \mathrm{m}, K_{2}= -0,3 A / m e K_{3}=-0,35 A / m. Qual a intensidade de campo magnético nas regiões \rho= 0,5 c m, \rho=1,5 c m, \rho=2,5 c m e \rho=3,5 c m ?

Passo 1

O enunciado pede a intensidade do campo magnético em quatro pontos circulares concêntricos com o fio/centro: \rho=0,5\\ \text{cm}, \rho=1,5\\ \text{cm}, \rho=2,5\\ \text{cm} e \rho=3,5\\ \text{cm}. Dados fornecidos (vou listar tudo certinho para não nos perder):
I_{\text{fio}} = 0{,}2\\ \mathrm{A}
Três cascas cilíndricas finas, centradas no eixo z:
\rho_1 = 1\\ \text{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m},\quad K_1 = 0{,}5\\ \mathrm{A/m},
\rho_2 = 2\\ \text{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m},\quad K_2 = -0{,}3\\ \mathrm{A/m},
\rho_3 = 3\\ \text{cm} = 0{,}03\\ \mathrm{m},\quad K_3 = -0{,}35\\ \mathrm{A/m}.
O que precisa ser calculado em cada caso é a magnitude de \vec{B} no raio \rho pedido. Não vou precisar de mais informações — tudo está aqui.

Passo 2

Ferramenta que usamos: Lei de Ampère (muito prática em simetrias cilíndricas). A forma integral é
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva de integração. Por simetria (fio infinito + cascas cilíndricas concêntricas) \vec{B} tem direção azimutal \hat{\varphi} e módulo constante numa circunferência de raio \rho. Tomando essa circunferência como caminho de integração:
B(\rho)\,2\pi\rho = \mu_0 I_{\text{enc}}(\rho).
Logo, a fórmula que vamos aplicar é
B(\rho) = \frac{\mu_0\, I_{\text{enc}}(\rho)}{2\pi\rho}.
Aqui: B(\rho) é o módulo do campo na distância radial \rho do eixo, e I_{\text{enc}}(\rho) é a soma algébrica das correntes que estão inteiramente dentro do círculo de raio \rho.

Passo 3

Como encontrar a corrente total de cada casca? Uma casca fina com densidade de corrente superficial (no sentido axial) K (unidade \mathrm{A/m}) que percorre toda a circunferência tem corrente total igual a K multiplicado pelo comprimento da circunferência 2\pi\rho_i:
I_{\text{casca }i} = K_i\cdot 2\pi\rho_i.
Vamos calcular cada uma (convertendo \rho_i para metros):
I_{1} = K_{1}\,2\pi\rho_{1} = 0{,}5\cdot 2\pi\cdot 0{,}01 = 0{,}0314159265\\ \mathrm{A}\approx 0{,}031416\\ \mathrm{A}.
I_{2} = K_{2}\,2\pi\rho_{2} = -0{,}3\cdot 2\pi\cdot 0{,}02 = -0{,}0376991118\\ \mathrm{A}\approx -0{,}037699\\ \mathrm{A}.
I_{3} = K_{3}\,2\pi\rho_{3} = -0{,}35\cdot 2\pi\cdot 0{,}03 = -0{,}0659734447\\ \mathrm{A}\approx -0{,}065973\\ \mathrm{A}.
Observação rápida: sinais negativos indicam que a corrente naquela casca é no sentido -\hat{z} (oposto ao fio se este foi dado positivo).

Passo 4

Primeiro simplificar um fator útil: \dfrac{\mu_0}{2\pi}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Então
B(\rho)=\frac{2\times10^{-7}\,I_{\text{enc}}}{\rho}.
Também lembrando: a direção do campo é azimutal \hat{\varphi}; pelo sentido da corrente no fio (positivo em +\hat{z}) o campo circula segundo a regra da mão direita (o sentido \hat{\varphi} padrão).

Passo 5

Aqui a circunferência está dentro da primeira casca ( \rho<\rho_1), então estão incluídas apenas as correntes do fio central:
I_{\text{enc}}(0{,}5\\ \text{cm}) = I_{\text{fio}} = 0{,}2\\ \mathrm{A}.
Aplicando a fórmula:
B(0{,}5\\ \text{cm}) = \frac{2\times10^{-7}\cdot 0{,}2}{0{,}005} = \frac{4\times10^{-8}}{0{,}005} = 8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Aqui \rho_1 < \rho < \rho_2, então entram o fio e a casca 1:
I_{\text{enc}}(1{,}5\\ \text{cm}) = I_{\text{fio}} + I_{1} = 0{,}2 + 0{,}0314159265 = 0{,}2314159265\\ \mathrm{A}.
Logo
B(1{,}5\\ \text{cm}) = \frac{2\times10^{-7}\cdot 0{,}2314159265}{0{,}015} \approx 3{,}0855457\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\approx 3{,}09\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Aqui \rho_2 < \rho < \rho_3, então entram fio + casca 1 + casca 2:
I_{\text{enc}}(2{,}5\\ \text{cm}) = 0{,}2 + I_1 + I_2 = 0{,}2 + 0{,}0314159265 - 0{,}0376991118 = 0{,}1937168147\\ \mathrm{A}.
Assim
B(2{,}5\\ \text{cm}) = \frac{2\times10^{-7}\cdot 0{,}1937168147}{0{,}025} \approx 1{,}5497345\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\approx 1{,}55\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 8

Aqui \rho>\rho_3, entram todas as correntes (fio + 3 cascas). Primeiro somamos as correntes das cascas (já calculadas):
I_{1}+I_{2}+I_{3}=0{,}0314159265 - 0{,}0376991118 - 0{,}0659734447 = -0{,}07225663\\ \mathrm{A}.
Portanto
I_{\text{enc}}(3{,}5\\ \text{cm}) = I_{\text{fio}} + (I_1+I_2+I_3) = 0{,}2 - 0{,}07225663 = 0{,}12774337\\ \mathrm{A}.
E
B(3{,}5\\ \text{cm}) = \frac{2\times10^{-7}\cdot 0{,}12774337}{0{,}035} \approx 7{,}299624\!\times\!10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx 7{,}30\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 9

Resumo físico rápido (para te animar): conforme aumentamos \rho, o campo diminui aproximadamente como 1/\rho e as cascas que têm correntes contrárias ao fio reduzem a corrente total aparente — por isso o campo após incluir todas as cascas ficou menor do que perto do fio.

Resposta

\rho=0{,}5\\ \text{cm}:\\ B=8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
\rho=1{,}5\\ \text{cm}:\\ B=3{,}09\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
\rho=2{,}5\\ \text{cm}:\\ B=1{,}55\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
\rho=3{,}5\\ \text{cm}:\\ B=7{,}30\times10^{-7}\\ \mathrm{T}

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