Um fio colocado no eixo
pode ser considerado como infinito e é percorrido por uma corrente no valor
na direção
positiva. Centradas no eixo
, são dispostas três cascas cilíndricas, de modo que cada casca com
e
3 cm são percorridas, respectivamente, por correntes de valores
e
. Qual a intensidade de campo magnético nas regiões
e
?
Passo 1
O enunciado pede a intensidade do campo magnético em quatro pontos circulares concêntricos com o fio/centro:
,
,
e
. Dados fornecidos (vou listar tudo certinho para não nos perder):
Três cascas cilíndricas finas, centradas no eixo
:
O que precisa ser calculado em cada caso é a magnitude de
no raio
pedido. Não vou precisar de mais informações — tudo está aqui.
Passo 2
Ferramenta que usamos: Lei de Ampère (muito prática em simetrias cilíndricas). A forma integral é
onde
e
é a corrente total atravessando a superfície limitada pela curva de integração. Por simetria (fio infinito + cascas cilíndricas concêntricas)
tem direção azimutal
e módulo constante numa circunferência de raio
. Tomando essa circunferência como caminho de integração:
Logo, a fórmula que vamos aplicar é
Aqui:
é o módulo do campo na distância radial
do eixo, e
é a soma algébrica das correntes que estão inteiramente dentro do círculo de raio
.
Passo 3
Como encontrar a corrente total de cada casca? Uma casca fina com densidade de corrente superficial (no sentido axial)
(unidade
) que percorre toda a circunferência tem corrente total igual a
multiplicado pelo comprimento da circunferência
:
Vamos calcular cada uma (convertendo
para metros):
Observação rápida: sinais negativos indicam que a corrente naquela casca é no sentido
(oposto ao fio se este foi dado positivo).
Passo 4
Primeiro simplificar um fator útil:
.
Então
Então
Também lembrando: a direção do campo é azimutal
; pelo sentido da corrente no fio (positivo em
) o campo circula segundo a regra da mão direita (o sentido
padrão).
Passo 5
Aqui a circunferência está dentro da primeira casca (
), então estão incluídas apenas as correntes do fio central:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Aqui
, então entram o fio e a casca 1:
Logo
Passo 7
Aqui
, então entram fio + casca 1 + casca 2:
Assim
Passo 8
Aqui
, entram todas as correntes (fio + 3 cascas). Primeiro somamos as correntes das cascas (já calculadas):
Portanto
E
Passo 9
Resumo físico rápido (para te animar): conforme aumentamos
, o campo diminui aproximadamente como
e as cascas que têm correntes contrárias ao fio reduzem a corrente total aparente — por isso o campo após incluir todas as cascas ficou menor do que perto do fio.