Uma espira quadrada de lado igual a
é livre para rotacionar ao redor de um dos seus lados que está fixado no eixo
. Uma corrente de
circula na espira na direção
no lado fixo da espira. Uma densidade de fluxo magnético uniforme existe de modo que a espira, quando posicionada em
, nenhum torque age sobre a espira. Quando esta está posicionada em
um torque máximo é aplicado de valor
. Determine a densidade de fluxo magnético.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Uma espira quadrada de lado igual a
. - A espira pode girar em torno de um dos seus lados que está fixado ao eixo
. - Uma corrente elétrica de intensidade
circula na espira, e no lado fixo a direção da corrente é . - Existe uma densidade de fluxo magnético uniforme
(desconhecida). - Quando a espira está posicionada em
não há torque atuando sobre ela. - Quando a espira está em
o torque máximo aplicado tem valor (ou seja ).
Pergunta: determinar a densidade de fluxo magnético
(valor e direção).
Passo 2
Modelagem e definições importantes (passo a passo e intuitivo):
- Primeiro, a área da espira (lado
) é
- Para uma espira plana com corrente
, define-se o momento de dipolo magnético (vetor) como
onde
é um versor normal à superfície da espira orientado pela regra da mão direita: se você enrola os dedos no sentido da corrente, o polegar aponta em
. Aqui
tem unidades
.
- A força de torque sobre a espira, devida a um campo magnético uniforme, é
A magnitude máxima do torque, quando
, é
.
- Agora vamos fixar um sistema de referência cartesiano para descrever direções:
-
aponta radialmente para fora (do eixo para a face oposta da espira), -
é tangencial, -
é o eixo de rotação vertical (dado).
-
- A espira está num plano que contém
e um raio radial; o versor normal ao plano da espira é, portanto, tangencial (na direção azimutal). Esse versor azimutal pode ser expresso em função de por
- Precisamos achar a orientação de
(o sentido de ) dado que no lado fixo a corrente é . Fazendo o trajeto da corrente (construção mental: corrente desce pelo lado fixo no eixo, vai para fora na base, sobe na borda externa e volta para dentro no topo) e aplicando a regra da mão direita, obtém-se
Ou seja, o momento magnético da espira vale
Passo 3
Expressar
em componentes cartesianas em função de
:
Usando
e
, temos
Substituímos o valor de
e
quando precisarmos de números.
Passo 4
Usar as condições do enunciado para obter a direção de
:
- A informação “quando
não há torque” significa que, naquela posição,
Isto só ocorre se
for paralelo a
. Calculemos
:
Logo
deve ser paralelo a
; ou seja
com
.
- Agora usamos a segunda condição: em
o torque máximo é aplicado, no valor vetorial . Vamos calcular em função de um sinal indefinido de e escolher o sinal que dá o torque pedido.
Passo 5
Calcular
para
e aplicar
:
Primeiro, a expressão geral do torque com
:
O produto vetorial só tem contribuição do componente em
:
E
, então
Portanto, para
temos
Agora avalie em
:
, logo
Isto daria um torque apontando em
. Mas o enunciado diz que o torque em
é
. Portanto
não pode ser
.
Tente
. Neste caso
muda de sinal:
Em
obtemos
e
Isto tem o mesmo sentido (positivo em
) que o enunciado. Logo a escolha correta é
e a magnitude
satisfaz
Passo 6
Calcular numericamente
:
Usando
e
,
Em notação mais usual,
(ou
). E o sentido, como deduzimos, é
.