Uma espira quadrada de lado igual a 2 c m é livre para rotacionar ao redor de um dos seus lados que está fixado no eixo z. Uma corrente de 1 A circula na espira na direção -\vec{a}_{Z} no lado fixo da espira. Uma densidade de fluxo magnético uniforme existe de modo que a espira, quando posicionada em \varphi=\pi / 2, nenhum torque age sobre a espira. Quando esta está posicionada em \varphi=\pi um torque máximo é aplicado de valor 8 \mu N m \vec{a}_{z}. Determine a densidade de fluxo magnético.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Uma espira quadrada de lado igual a \,2\\ \text{cm}\,.
  • A espira pode girar em torno de um dos seus lados que está fixado ao eixo \vec{a}_Z.
  • Uma corrente elétrica de intensidade \,1\\ \text{A}\, circula na espira, e no lado fixo a direção da corrente é -\vec{a}_Z.
  • Existe uma densidade de fluxo magnético uniforme \vec{B} (desconhecida).
  • Quando a espira está posicionada em \varphi=\pi/2 não há torque atuando sobre ela.
  • Quando a espira está em \varphi=\pi o torque máximo aplicado tem valor \,8\\ \mu\text{N}\cdot\text{m}\\ \vec{a}_z (ou seja \,8\times10^{-6}\\ \text{N}\cdot\text{m}\\ \vec{a}_z).
Pergunta: determinar a densidade de fluxo magnético \vec{B} (valor e direção).

Passo 2

Modelagem e definições importantes (passo a passo e intuitivo):
  • Primeiro, a área da espira (lado a=2\\ \text{cm}=0,02\\ \text{m}) é
A = a^2 = (0,02)^2 = 4\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
  • Para uma espira plana com corrente I, define-se o momento de dipolo magnético (vetor) como
\vec{m} = I\,A\,\hat{n},
onde \hat{n} é um versor normal à superfície da espira orientado pela regra da mão direita: se você enrola os dedos no sentido da corrente, o polegar aponta em \hat{n}. Aqui \vec{m} tem unidades \text{A}\cdot\text{m}^2.
  • A força de torque sobre a espira, devida a um campo magnético uniforme, é
\vec{\tau} = \vec{m}\times\vec{B}.
A magnitude máxima do torque, quando \vec{m}\perp\vec{B}, é \tau_{\max}=mB.
  • Agora vamos fixar um sistema de referência cartesiano para descrever direções:
    • \vec{a}_x aponta radialmente para fora (do eixo para a face oposta da espira),
    • \vec{a}_y é tangencial,
    • \vec{a}_z é o eixo de rotação vertical (dado).
  • A espira está num plano que contém \vec{a}_z e um raio radial; o versor normal ao plano da espira é, portanto, tangencial (na direção azimutal). Esse versor azimutal pode ser expresso em função de \varphi por
\hat{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\vec{a}_x + \cos\varphi\,\vec{a}_y.
  • Precisamos achar a orientação de \hat{n} (o sentido de \vec{m}) dado que no lado fixo a corrente é -\vec{a}_Z. Fazendo o trajeto da corrente (construção mental: corrente desce pelo lado fixo no eixo, vai para fora na base, sobe na borda externa e volta para dentro no topo) e aplicando a regra da mão direita, obtém-se
\hat{n} = -\hat{a}_\varphi.
Ou seja, o momento magnético da espira vale
\vec{m} = I A (-\hat{a}_\varphi).

Passo 3

Expressar \vec{m} em componentes cartesianas em função de \varphi:
Usando \hat{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\vec{a}_x + \cos\varphi\,\vec{a}_y e \vec{m} = -I A \hat{a}_\varphi, temos
\vec{m} = -I A(-\sin\varphi\,\vec{a}_x + \cos\varphi\,\vec{a}_y) = I A(\sin\varphi\,\vec{a}_x - \cos\varphi\,\vec{a}_y).
Substituímos o valor de A e I=1\\ \text{A} quando precisarmos de números.

Passo 4

Usar as condições do enunciado para obter a direção de \vec{B}:
  • A informação “quando \varphi=\pi/2 não há torque” significa que, naquela posição,
\vec{\tau}(\varphi=\pi/2)=\vec{m}(\varphi=\pi/2)\times\vec{B}= \vec{0}.
Isto só ocorre se \vec{m}(\pi/2) for paralelo a \vec{B}. Calculemos \vec{m}(\pi/2):
\vec{m}(\pi/2)=I A(\sin(\pi/2)\,\vec{a}_x - \cos(\pi/2)\,\vec{a}_y)=I A(1\cdot\vec{a}_x - 0\cdot\vec{a}_y)=I A\,\vec{a}_x.
Logo \vec{B} deve ser paralelo a \vec{a}_x; ou seja \vec{B}=\pm B\,\vec{a}_x com B\ge 0.
  • Agora usamos a segunda condição: em \varphi=\pi o torque máximo é aplicado, no valor vetorial \,8\times10^{-6}\\ \text{N}\cdot\text{m}\\ \vec{a}_z. Vamos calcular \vec{\tau} em função de um sinal indefinido de \vec{B} e escolher o sinal que dá o torque pedido.

Passo 5

Calcular \vec{\tau} para \vec{B}=\pm B\,\vec{a}_x e aplicar \varphi=\pi:
Primeiro, a expressão geral do torque com \vec{B}=B\,\vec{a}_x:
\vec{\tau}=\vec{m}\times\vec{B} = \big(I A(\sin\varphi\,\vec{a}_x - \cos\varphi\,\vec{a}_y)\big)\times\big(B\,\vec{a}_x\big).
O produto vetorial só tem contribuição do componente em \vec{a}_y:
\vec{\tau}= -I A\cos\varphi\,\vec{a}_y\times B\vec{a}_x = -I A B\cos\varphi\,(\vec{a}_y\times\vec{a}_x).
E \vec{a}_y\times\vec{a}_x = -\vec{a}_z, então
\vec{\tau}= -I A B\cos\varphi\,(-\vec{a}_z)= I A B\cos\varphi\,\vec{a}_z.
Portanto, para \vec{B}=+B\vec{a}_x temos
\vec{\tau}(\varphi)= I A B\cos\varphi\,\vec{a}_z.
Agora avalie em \varphi=\pi: \cos\pi=-1, logo
\vec{\tau}(\pi)= I A B(-1)\,\vec{a}_z = -I A B\,\vec{a}_z.
Isto daria um torque apontando em -\vec{a}_z. Mas o enunciado diz que o torque em \varphi=\pi é +8\times10^{-6}\\ \text{N}\cdot\text{m}\\ \vec{a}_z. Portanto \vec{B} não pode ser +B\vec{a}_x.
Tente \vec{B}=-B\vec{a}_x. Neste caso \vec{\tau} muda de sinal:
\vec{\tau}(\varphi)= -I A B\cos\varphi\,\vec{a}_z.
Em \varphi=\pi obtemos \cos\pi=-1 e
\vec{\tau}(\pi)= -I A B(-1)\,\vec{a}_z = +I A B\,\vec{a}_z.
Isto tem o mesmo sentido (positivo em \vec{a}_z) que o enunciado. Logo a escolha correta é
\vec{B}=-B\,\vec{a}_x,
e a magnitude B satisfaz
I A B = 8\times10^{-6}\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 6

Calcular numericamente B:
Usando I=1\\ \text{A} e A=4\times10^{-4}\\ \text{m}^2,
B = \frac{8\times10^{-6}}{I A} = \frac{8\times10^{-6}}{1\cdot 4\times10^{-4}} = \frac{8}{4}\times 10^{-6+4} = 2\times10^{-2}\\ \text{T}.
Em notação mais usual, B=0,02\\ \text{T} (ou 20\\ \text{mT}). E o sentido, como deduzimos, é -\vec{a}_x.

Resposta

\displaystyle \vec{B} = -0,02\,\vec{a}_x\\ \text{T}

Exercícios relacionados