O CAMPO ELÉTRICO DENTRO DE UMA ESFERA DE RAIO
, QUE CONTÉM UMA DENSIDADE DE CARGA UNIFORME
, É RADIAL E SEU MÓDULO É DADO POR
, ONDE
É A CARGA TOTAL DA ESFERA E
É A DISTÂNCIA AO CENTRO. DETERMINE:
(A) A ESFERA É CONDUTORA?
(B) DETERMINE O POTENCIAL
, ADOTANDO
NO CENTRO.
(A) A ESFERA É CONDUTORA?
(B) DETERMINE O POTENCIAL
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
= raio da esfera.
A esfera contém densidade de carga volumétrica uniforme .
Carga total da esfera: .
O campo elétrico, radial, dentro da esfera (ou seja, para ) tem módulo dado por (interpretei a fórmula na forma usual, incluindo
, pois o enunciado parece ter abreviado essa constante)
A esfera contém densidade de carga volumétrica uniforme
Carga total da esfera:
O campo elétrico, radial, dentro da esfera (ou seja, para
Condições de referência para o potencial:
(o potencial é nulo no centro).
Perguntas do enunciado:
(A) A esfera é condutora?
(B) Determine o potencial para
, adotando
.
Perguntas do enunciado:
(A) A esfera é condutora?
(B) Determine o potencial
Passo 2
Entendendo o que significa “ser condutora” em eletrostática (explicação didática curta e necessária): numa esfera condutora em equilíbrio eletrostático a propriedade fundamental é que o campo elétrico dentro do volume do condutor é nulo, isto é,
para todo
no interior. Por que? Porque cargas livres dentro de um condutor se movem até que não haja campo elétrico interno (se houvesse campo, cargas continuariam a se deslocar). Portanto, para uma figura ser condutora é preciso que o campo interno seja zero (ou, no caso trivial, a carga total seja zero). Esta é a condição que usaremos para responder (A).
Passo 3
Aplicando a condição ao nosso caso: o enunciado fornece um campo interno
Observe que, salvo o caso trivial
, esse
é diferente de zero para
(ele cresce proporcionalmente a
). Logo, o campo dentro da esfera não é zero. Conclusão direta (resposta a (A)): a esfera, com essa distribuição volumétrica de carga, não é condutora — é um isolante com carga distribuída por todo o volume. Em condutor a carga se acumula na superfície e o campo interno seria nulo; aqui há campo interno não nulo, portanto não é condutor.
Passo 4
Agora vamos calcular o potencial
. Primeiro, a relação entre campo elétrico e potencial: em eletrostática o campo e o potencial estão ligados pela relação vetorial
No caso de simetria esférica,
depende só de
e
é radial, então a relação escalar é
Significado: o campo radial é a derivada negativa do potencial em relação à distância radial. Se conhecemos
podemos recuperar
integrando com sinal negativo.
Passo 5
Usamos a condição de referência
. Escrevemos a integral definida que dá
:
Como
, isso fica simplesmente
Agora substituímos
pela expressão dada:
Passo 6
Calcule a integral passo a passo. A constante
sai da integral:
A integral de
é
, avaliada de
a
dá
. Assim
Simplificando o fator:
Passo 7
É útil apresentar a forma alternativa em função da densidade
. Lembremo-nos que a carga total de uma esfera de densidade volumétrica uniforme
é
Substituindo em
:
Essa expressão é muitas vezes mais prática quando o enunciado fornece
em vez de
.
Passo 8
Verificação rápida (bom hábito de prova): derivando
obtida, vemos
que é exatamente
. Portanto a integral foi feita corretamente e a condição
foi satisfeita.
Resposta
(A) Não.
(B) \
ou, em função de ,
.
(B)
ou, em função de