O CAMPO ELÉTRICO DENTRO DE UMA ESFERA DE RAIO R, QUE CONTÉM UMA DENSIDADE DE CARGA UNIFORME \rho, É RADIAL E SEU MÓDULO É DADO POR E(r)=\frac{Q \cdot r}{4 \pi r \cdot R}, ONDE Q É A CARGA TOTAL DA ESFERA E r É A DISTÂNCIA AO CENTRO. DETERMINE:
(A) A ESFERA É CONDUTORA?
(B) DETERMINE O POTENCIAL v(r), ADOTANDO v=0 NO CENTRO.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
R = raio da esfera.
A esfera contém densidade de carga volumétrica uniforme \rho.
Carga total da esfera: Q.
O campo elétrico, radial, dentro da esfera (ou seja, para 0\le r\le R) tem módulo dado por (interpretei a fórmula na forma usual, incluindo \varepsilon_0, pois o enunciado parece ter abreviado essa constante)
E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}.
Condições de referência para o potencial: v(0)=0 (o potencial é nulo no centro).
Perguntas do enunciado:
(A) A esfera é condutora?
(B) Determine o potencial v(r) para 0\le r\le R, adotando v(0)=0.

Passo 2

Entendendo o que significa “ser condutora” em eletrostática (explicação didática curta e necessária): numa esfera condutora em equilíbrio eletrostático a propriedade fundamental é que o campo elétrico dentro do volume do condutor é nulo, isto é, \mathbf{E}=\mathbf{0} para todo r no interior. Por que? Porque cargas livres dentro de um condutor se movem até que não haja campo elétrico interno (se houvesse campo, cargas continuariam a se deslocar). Portanto, para uma figura ser condutora é preciso que o campo interno seja zero (ou, no caso trivial, a carga total seja zero). Esta é a condição que usaremos para responder (A).

Passo 3

Aplicando a condição ao nosso caso: o enunciado fornece um campo interno
E(r)=\frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}.
Observe que, salvo o caso trivial Q=0, esse E(r) é diferente de zero para r>0 (ele cresce proporcionalmente a r). Logo, o campo dentro da esfera não é zero. Conclusão direta (resposta a (A)): a esfera, com essa distribuição volumétrica de carga, não é condutora — é um isolante com carga distribuída por todo o volume. Em condutor a carga se acumula na superfície e o campo interno seria nulo; aqui há campo interno não nulo, portanto não é condutor.

Passo 4

Agora vamos calcular o potencial v(r). Primeiro, a relação entre campo elétrico e potencial: em eletrostática o campo e o potencial estão ligados pela relação vetorial
\mathbf{E} = -\nabla v.
No caso de simetria esférica, v depende só de r e \mathbf{E} é radial, então a relação escalar é
E(r) = -\frac{dv}{dr}.
Significado: o campo radial é a derivada negativa do potencial em relação à distância radial. Se conhecemos E(r) podemos recuperar v(r) integrando com sinal negativo.

Passo 5

Usamos a condição de referência v(0)=0. Escrevemos a integral definida que dá v(r):
v(r)-v(0) = -\int_{0}^{r} E(r')\,dr'.
Como v(0)=0, isso fica simplesmente
v(r) = -\int_{0}^{r} E(r')\,dr'.
Agora substituímos E(r') pela expressão dada:
v(r) = -\int_{0}^{r} \frac{Q\,r'}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}\,dr'.

Passo 6

Calcule a integral passo a passo. A constante \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}} sai da integral:
v(r) = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}\int_{0}^{r} r'\,dr'.
A integral de r' é \dfrac{r'^{2}}{2}, avaliada de 0 a r \dfrac{r^{2}}{2}. Assim
v(r) = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}}\cdot\frac{r^{2}}{2}.
Simplificando o fator:
v(r) = -\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R^{3}}.

Passo 7

É útil apresentar a forma alternativa em função da densidade \rho. Lembremo-nos que a carga total de uma esfera de densidade volumétrica uniforme \rho é
Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho.
Substituindo em v(r):
v(r) = -\frac{\left(\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\rho\right) r^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R^{3}} = -\frac{\rho\,r^{2}}{6\varepsilon_0}.
Essa expressão é muitas vezes mais prática quando o enunciado fornece \rho em vez de Q.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito de prova): derivando v(r) obtida, vemos
-\frac{dv}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R^{3}}\right) = \frac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0 R^{3}},
que é exatamente E(r). Portanto a integral foi feita corretamente e a condição v(0)=0 foi satisfeita.

Resposta

(A) Não.
(B) \displaystyle v(r)=-\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\varepsilon_0 R^{3}} \
ou, em função de \rho, \displaystyle v(r)=-\frac{\rho\,r^{2}}{6\varepsilon_0}.

Exercícios relacionados