4 { }^{\text {a }} Questão: (a) Defina uma onda estacionária. (b) Mostre (ou seja, prove, demonstre) que sua amplitude só depende da posição e encontre as posições de máximos e mínimos desta onda. (Dados: \operatorname{sen} A+\operatorname{sen} B= 2 \operatorname{sen}[(A+B) / 2] \cos [(A-B) / 2])

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) dar uma definição de onda estacionária; (b) mostrar (demonstrar) que a amplitude de uma onda estacionária formada pela superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos depende apenas da posição, e encontrar as posições dos máximos e mínimos dessa onda.
Informações/hipóteses que usarei (estas são as hipóteses clássicas para obter uma onda estacionária e estão implícitas na pergunta): duas ondas harmônicas de mesma amplitude A, mesma frequência angular \omega e mesmo número de onda k, propagando-se em sentidos opostos ao longo do eixo x; suas equações (escritas de forma usual) são:
y_1(x,t)=A\sin(kx-\omega t)
y_2(x,t)=A\sin(kx+\omega t)
Também foi dada a identidade trigonométrica
\sin A+\sin B=2\sin\!\biggl(\frac{A+B}{2}\biggr)\cos\!\biggl(\frac{A-B}{2}\biggr).
Vou usar tudo isso para fazer a demonstração pedida.

Passo 2

Explico o significado físico e das letras que aparecem nas equações (isso é importante para entender cada passo): A é a amplitude (valor máximo) de cada onda viajante; k é o número de onda, que mede quantas oscilações cabem por unidade de comprimento e está ligado ao comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda},
\omega é a frequência angular, ligada à frequência f por \omega=2\pi f; x é a coordenada espacial e t é o tempo. As ondas y_1 e y_2 acima têm mesma amplitude e frequência, mas sentidos opostos de propagação (sinais de \omega t trocados).

Passo 3

Agora somamos as duas ondas para obter a onda resultante (superposição linear). Escrevo a soma e aplico a identidade trigonométrica dada. Primeiro a soma:
y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t).
Fatorando A e aplicando a identidade com A=kx-\omega t e B=kx+\omega t, obtemos (uso a identidade fornecida):
y(x,t)=2A\sin\!\biggl(\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}\biggr)\cos\!\biggl(\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}\biggr).
Agora simplifico os meios-somas e meios-diferenças:
\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}=\frac{2kx}{2}=kx,
\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}=\frac{-2\omega t}{2}=-\omega t.
Portanto
y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(-\omega t).

Passo 4

Uso a paridade do cosseno ( \cos(-\omega t)=\cos(\omega t)) para escrever a forma final mais familiar:
y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t).
Este é o resultado crucial: ele mostra que a função que multiplica \cos(\omega t) depende só de x. Defino a “amplitude espacial” (envelope espacial) como
\mathcal{A}(x)=2A\sin(kx).
Na prática, a amplitude efetiva (módulo do envelope) que determina o máximo deslocamento em cada posição x é
|\mathcal{A}(x)|=2A\bigl|\sin(kx)\bigr|.
Explanação didática: aqui você vê que a dependência temporal está toda em \cos(\omega t) (mesma fase em todo x), enquanto a dependência espacial está numa função multiplicativa 2A\sin(kx). Por isso dizemos que a amplitude “só depende da posição”: em cada ponto x a oscilação no tempo é uma simples oscilação harmônica com amplitude 2A|\sin(kx)|.

Passo 5

Agora encontro os pontos onde a amplitude é nula (mínimos, chamados nós) e onde atinge o valor máximo (ventres ou antinós). Começo pelos nós (mínimos absolutos, onde não há deslocamento em qualquer tempo):
Nós ocorrem quando \mathcal{A}(x)=0, isto é quando
\sin(kx)=0.
A solução geral é
kx=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Isolando x e usando k=2\pi/\lambda, obtemos as posições dos nós:
x=\frac{n\pi}{k}=n\frac{\pi}{2\pi/\lambda}=n\frac{\lambda}{2}.
Portanto os nós estão em
x=n\frac{\lambda}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Interpretação: em x=0 ( n=0), em x=\lambda/2 ( n=1), em x=\lambda ( n=2), etc.; esses pontos ficam sempre parados (deslocamento zero para todo t).

Passo 6

Agora os antinós (máximos da amplitude espacial). Máximo absoluto do módulo ocorre quando |\sin(kx)|=1, ou seja quando
\sin(kx)=\pm 1.
As soluções são
kx=\frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.
Isolando x,
x=\frac{(2n+1)\pi}{2k}.
Usando k=2\pi/\lambda simplificamos:
x=\frac{(2n+1)\pi}{2\cdot(2\pi/\lambda)}=\frac{2n+1}{4}\lambda=\frac{(2n+1)\lambda}{4}.
Nestes pontos a amplitude máxima absoluta é
|\mathcal{A}(x)|_{\text{max}}=2A\cdot 1=2A.
Ou seja, os antinós oscilam com amplitude 2A. Exemplos fáceis: para n=0 o primeiro antinó fica em x=\lambda/4; para n=1, x=3\lambda/4, e assim por diante, espaçados por \lambda/2.

Passo 7

Resumo do que a demonstração mostra (didaticamente): a superposição de duas ondas iguais que se propagam em sentidos opostos elimina a dependência de fase espacial-temporal na forma de onda viajante e produz um produto de uma função puramente espacial por uma função puramente temporal. A função espacial 2A\sin(kx) determina o envelope da amplitude em cada ponto; portanto a amplitude no ponto x é 2A|\sin(kx)|. Nós (mínimos) e antinós (máximos) aparecem em posições regulares em função de \lambda, conforme calculado.

Resposta

(a) Uma onda estacionária é a superposição de duas ondas harmônicas de mesma frequência e amplitude que se propagam em sentidos opostos, resultando numa oscilação em cada ponto cuja amplitude depende apenas da posição e não propaga energia como uma onda viajante.
(b) A amplitude espacial (envelope) é \mathcal{A}(x)=2A\sin(kx), portanto a amplitude efetiva em x é 2A\bigl|\sin(kx)\bigr|. Os mínimos (nós) estão em \displaystyle x=n\frac{\lambda}{2},\\ n\in\mathbb{Z}. Os máximos (antinós) estão em \displaystyle x=\frac{(2n+1)\lambda}{4},\\ n\in\mathbb{Z}, com amplitude máxima 2A.

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