Uma carga total de 20 n C está distribuída em duas esferas condutoras, cujos centros distam 30 cm um do outro. As esferas se repelem com uma força de 7,5 \times 10^{-6} N. Qual a carga em cada esfera?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 15 nC e 5 nC .
\bigcirc b. 10 nC em cada.
\bigcirc c. 20 nC e 0 C.
\bigcirc d. 12 nC e 8 nC

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informação: carga total nas duas esferas =\;20\\ \text{nC}.
  • Informação: distância entre os centros =\;30\\ \text{cm}.
  • Informação: força de repulsão entre as esferas =\;7{,}5\times10^{-6}\\ \text{N}.
  • Pergunta: qual é a carga em cada esfera?
Anotações úteis (convertendo para unidades do SI):
20\\ \text{nC}=20\times10^{-9}\\ \text{C}=2{,}0\times10^{-8}\\ \text{C},
30\\ \text{cm}=0{,}30\\ \text{m}.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar: a Lei de Coulomb, que dá a força elétrica entre duas cargas puntiformes (ou esferas condutoras suficientemente separadas, aproximadas como cargas puntiformes colocadas nos centros). A fórmula é
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica (em newtons),
  • k é a constante eletrostática do meio (no vácuo k\approx9{,}0\times10^{9}\\ \text{N·m}^2/\text{C}^2),
  • q_1 e q_2 são as cargas das duas esferas (em coulombs),
  • r é a distância entre os centros (em metros).
Explicação curta: a força é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Aqui a força é de repulsão, então as cargas têm o mesmo sinal; como a carga total é positiva, ambas são positivas.

Passo 3

Definimos incógnitas e relações simples fornecidas pelo enunciado:
  • Seja q_1 e q_2 as cargas das duas esferas (em coulombs). Do enunciado:
q_1+q_2 = Q_{\text{total}} = 2{,}0\times10^{-8}\\ \text{C}.
  • Aplicando a Lei de Coulomb para a magnitude da força:
7{,}5\times10^{-6} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}.
Note que não colocamos valor absoluto porque sabemos que q_1q_2>0 (ambas positivas).

Passo 4

Isolamos o produto q_1 q_2 pela equação da força:
q_1 q_2 = \frac{F r^2}{k}.
Agora substituímos números, com r=0{,}30\\ \text{m} e k=9{,}0\times10^{9}:
r^2=(0{,}30)^2=0{,}09\\ \text{m}^2.
F r^2 = 7{,}5\times10^{-6}\times0{,}09 = 6{,}75\times10^{-7}.
q_1 q_2 = \frac{6{,}75\times10^{-7}}{9{,}0\times10^{9}} = 7{,}5\times10^{-17}\\ \text{C}^2.

Passo 5

Agora temos soma e produto das duas incógnitas:
q_1+q_2 = 2{,}0\times10^{-8},
q_1 q_2 = 7{,}5\times10^{-17}.
Se q_1 e q_2 são as raízes de um polinômio quadrático em t, então elas são raízes da equação
t^2 - (q_1+q_2)\,t + q_1 q_2 = 0,
ou seja
t^2 - \bigl(2{,}0\times10^{-8}\bigr)t + 7{,}5\times10^{-17} = 0.

Passo 6

Calculamos o discriminante dessa quadrática:
\Delta = \bigl(2{,}0\times10^{-8}\bigr)^2 - 4\cdot7{,}5\times10^{-17}.
\bigl(2{,}0\times10^{-8}\bigr)^2 = 4{,}0\times10^{-16}.
4\cdot7{,}5\times10^{-17} = 3{,}0\times10^{-16}.
\Delta = 4{,}0\times10^{-16} - 3{,}0\times10^{-16} = 1{,}0\times10^{-16}.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta} = 1{,}0\times10^{-8}.

Passo 7

As soluções (as cargas) são
q_{1,2} = \frac{(q_1+q_2)\pm\sqrt{\Delta}}{2} = \frac{2{,}0\times10^{-8}\pm 1{,}0\times10^{-8}}{2}.
Calculando:
q_1 = \frac{2{,}0\times10^{-8}+1{,}0\times10^{-8}}{2} = \frac{3{,}0\times10^{-8}}{2} = 1{,}5\times10^{-8}\\ \text{C},
q_2 = \frac{2{,}0\times10^{-8}-1{,}0\times10^{-8}}{2} = \frac{1{,}0\times10^{-8}}{2} = 0{,}5\times10^{-8}\\ \text{C}.
Convertendo para nanocoulombs:
q_1 = 1{,}5\times10^{-8}\\ \text{C} = 15\\ \text{nC},
q_2 = 0{,}5\times10^{-8}\\ \text{C} = 5\\ \text{nC}.

Passo 8

Verificação rápida (checar coerência): produto q_1 q_2 = 15\times10^{-9}\cdot5\times10^{-9}=75\times10^{-18}=7{,}5\times10^{-17}\\ \text{C}^2, que é o valor que obtivemos no Passo 4. Substituindo na Lei de Coulomb:
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2} = 9{,}0\times10^9\cdot\frac{7{,}5\times10^{-17}}{0{,}09}=7{,}5\times10^{-6}\\ \text{N},
que coincide com a força dada pelo enunciado. Tudo consistente.

Resposta

a. 15\,\text{nC} e 5\,\text{nC}

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