Uma carga total de
está distribuída em duas esferas condutoras, cujos centros distam 30 cm um do outro. As esferas se repelem com uma força de
. Qual a carga em cada esfera?
Escolha uma opção:
a. 15 nC e 5 nC .
b. 10 nC em cada.
c. 20 nC e 0 C.
d. 12 nC e 8 nC
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
- Informação: carga total nas duas esferas
. - Informação: distância entre os centros
. - Informação: força de repulsão entre as esferas
. - Pergunta: qual é a carga em cada esfera?
Anotações úteis (convertendo para unidades do SI):
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar: a Lei de Coulomb, que dá a força elétrica entre duas cargas puntiformes (ou esferas condutoras suficientemente separadas, aproximadas como cargas puntiformes colocadas nos centros). A fórmula é
onde:
-
é a magnitude da força elétrica (em newtons), -
é a constante eletrostática do meio (no vácuo ), -
e são as cargas das duas esferas (em coulombs), -
é a distância entre os centros (em metros).
Explicação curta: a força é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Aqui a força é de repulsão, então as cargas têm o mesmo sinal; como a carga total é positiva, ambas são positivas.
Passo 3
Definimos incógnitas e relações simples fornecidas pelo enunciado:
- Seja
e as cargas das duas esferas (em coulombs). Do enunciado:
- Aplicando a Lei de Coulomb para a magnitude da força:
Note que não colocamos valor absoluto porque sabemos que
(ambas positivas).
Passo 4
Isolamos o produto
pela equação da força:
Agora substituímos números, com
e
:
Passo 5
Agora temos soma e produto das duas incógnitas:
Se
e
são as raízes de um polinômio quadrático em
, então elas são raízes da equação
ou seja
Passo 6
Calculamos o discriminante dessa quadrática:
A raiz quadrada do discriminante é
Passo 7
As soluções (as cargas) são
Calculando:
Convertendo para nanocoulombs:
Passo 8
Verificação rápida (checar coerência): produto
, que é o valor que obtivemos no Passo 4. Substituindo na Lei de Coulomb:
que coincide com a força dada pelo enunciado. Tudo consistente.
Resposta
a.
e