Dada a função vetorial, obtenha o seu rotacional.
A=(6 x y+z^3) i+(3 x^2-z) j+(3 x z^2-y) k

Passo 1

Temos o campo vetorial A=(6xy+z^3)i+(3x^2-z)j+(3xz^2-y)k. O assunto aqui é calcular o rotacional de um campo vetorial, e vamos precisar da definição de nablatimesA e das derivadas parciais de cada componente.

Passo 2

O rotacional de A é definido como
nabla times A = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Ax & Ay & Az
que equivale a
(partialy Az - partialz Ay),i - (partialx Az - partialz Ax),j + (partialx Ay - partialy Ax),k

Passo 3

Vamos calcular cada componente:
Para i:
partialy Az = partialy(3xz^2 - y) = -1,
partialz Ay = partialz(3x^2 - z) = -1,
logo partialy Az - partialz Ay = -1 - (-1) = 0.
Para j:
partialx Az = partialx(3xz^2 - y) = 3z^2,
partialz Ax = partialz(6xy + z^3) = 3z^2,
logo partialx Az - partialz Ax = 3z^2 - 3z^2 = 0 e com o sinal menos fica zero.
Para k:
partialx Ay = partialx(3x^2 - z) = 6x,
partialy Ax = partialy(6xy + z^3) = 6x,
logo partialx Ay - partialy Ax = 6x - 6x = 0.

Resposta

O rotacional de A é o vetor nulo: nabla times A = 0.

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