Campo Elétrico para Distribuições Contínuas
Superfície de Cargas: distribuição superficial de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico para um plano infinito carregado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Campo Elétrico para Distribuições Contínuas, especificamente sobre uma superfície de cargas. O que a gente precisa fazer é desenvolver matematicamente a equação do campo elétrico para um plano infinito carregado. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
ointGauss E cdot dA = Qencvarepsilon0
Essa equação relaciona o fluxo do campo elétrico E através de uma superfície fechada com a carga total Qenc dentro dessa superfície. varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como estamos lidando com um plano infinito carregado, a simetria do problema é plana. Isso significa que o campo elétrico terá a mesma magnitude em qualquer ponto a uma mesma distância do plano e será perpendicular ao plano. Portanto, escolhemos uma superfície gaussiana que se aproveite dessa simetria, geralmente um cilindro gaussiano com suas faces paralelas ao plano.

Passo 4

Vamos definir nosso cilindro gaussiano de altura 2h e área das bases A. Devido à simetria, o campo elétrico E é uniforme nas duas faces do cilindro e perpendicular a elas, enquanto nas laterais do cilindro o campo é paralelo e, portanto, o fluxo é zero.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo total é:
Phi = E cdot A + E cdot A = 2EA
Pois o fluxo pelas laterais é zero.

Passo 6

A carga total Qenc dentro do cilindro é a densidade superficial sigma multiplicada pela área da base A:
Qenc = sigma A

Passo 7

Substituindo na Lei de Gauss:
2EA = sigma Avarepsilon0

Passo 8

Agora, resolvemos para E:
E = sigma2varepsilon0

Resposta

O campo elétrico gerado por um plano infinito carregado é:
E = sigma2varepsilon0

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