Campo Elétrico para Distribuições Contínuas
Superfície de Cargas: distribuição superficial de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico para um plano infinito carregado.
Superfície de Cargas: distribuição superficial de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico para um plano infinito carregado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Campo Elétrico para Distribuições Contínuas, especificamente sobre uma superfície de cargas. O que a gente precisa fazer é desenvolver matematicamente a equação do campo elétrico para um plano infinito carregado. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com alta simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Essa equação relaciona o fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada com a carga total
dentro dessa superfície.
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Como estamos lidando com um plano infinito carregado, a simetria do problema é plana. Isso significa que o campo elétrico terá a mesma magnitude em qualquer ponto a uma mesma distância do plano e será perpendicular ao plano. Portanto, escolhemos uma superfície gaussiana que se aproveite dessa simetria, geralmente um cilindro gaussiano com suas faces paralelas ao plano.
Passo 4
Vamos definir nosso cilindro gaussiano de altura
e área das bases
. Devido à simetria, o campo elétrico
é uniforme nas duas faces do cilindro e perpendicular a elas, enquanto nas laterais do cilindro o campo é paralelo e, portanto, o fluxo é zero.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos que o fluxo total é:
Pois o fluxo pelas laterais é zero.
Passo 6
A carga total
dentro do cilindro é a densidade superficial
multiplicada pela área da base
:
Passo 7
Substituindo na Lei de Gauss:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O campo elétrico gerado por um plano infinito carregado é: