Campo Elétrico para Distribuições Contínuas
Linha de Cargas: distribuição linear de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar às equações do campo elétrico para uma linha finita de carga.
Linha de Cargas: distribuição linear de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar às equações do campo elétrico para uma linha finita de carga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver detalhadamente as equações do campo elétrico criado por uma linha finita de carga. Isso está ligado ao estudo de Campo Elétrico para Distribuições Contínuas, mais especificamente uma distribuição linear de carga. Pra resolver, vamos precisar usar conceitos de Coulomb e integração, já que estamos lidando com uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar uma linha finita de carga. Pense nela como um fio reto, com comprimento $ L $, e carregado com uma carga total $ Q $. Para facilitar a matemática, vamos definir a densidade linear de carga $ \lambda $, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto específico devido a essa linha de carga. Vamos considerar um ponto $ P $ que está a uma distância $ r $ perpendicularmente ao centro da linha de carga. Devido à simetria, o campo elétrico nesse ponto terá apenas uma componente na direção perpendicular à linha de carga.
Passo 4
Vamos dividir a linha de carga em pequenos elementos de comprimento $ dx $. Cada elemento terá uma carga pequena $ dq $, que é:
Passo 5
Para cada pequeno elemento de carga $ dq $, o campo elétrico $ d\vec{E} $ que ele gera no ponto $ P $ pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
Aqui, $ r’ $ é a distância entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto $ P $, e $ \hat{r}’ $ é o vetor unitário na direção de $ r’ $.
Passo 6
Devido à simetria, as componentes horizontais dos campos elétricos gerados por elementos de carga simétricos se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Usando trigonometria, a componente vertical de $ d\vec{E} $ é:
Onde $ \theta $ é o ângulo entre $ r’ $ e a linha perpendicular que liga o ponto $ P $ ao centro da carga.
Passo 7
Podemos expressar $ \cos\theta $ em termos de $ x $ e $ r $. Usando o triângulo formado:
E a distância $ r’ $ é:
Passo 8
Substituindo $ dE $ e $ \cos\theta $ na expressão de $ dE_y $:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar o campo elétrico total $ E_y $, integramos $ dE_y $ ao longo de toda a linha de carga, de $ x = -\frac{L}{2} $ a $ x = \frac{L}{2} $:
Passo 10
A integral que precisamos resolver é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 11
Substituindo os limites:
Simplificando:
Resposta
Então, o campo elétrico $ \vec{E} $ no ponto $ P $ devido a uma linha finita de carga $ L $ é dado por: