Campo Elétrico para Distribuições Contínuas
Volume de Cargas: distribuição volumétrica de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico de uma esfera carregada.
Volume de Cargas: distribuição volumétrica de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico de uma esfera carregada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Campo Elétrico para Distribuições Contínuas, focando numa esfera carregada. O que a gente precisa aqui é entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga que está espalhada no volume de uma esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para encontrar campos elétricos de simetria específica, como a esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). A equação é:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento de área da superfície fechada.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera carregada, vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica, de raio
, concêntrica com a esfera carregada. A simetria esférica nos ajuda porque o campo elétrico terá a mesma intensidade em todos os pontos dessa superfície e será radial.
Passo 4
Vamos considerar dois casos: quando o ponto onde queremos calcular o campo (
) está fora da esfera carregada (
) e quando está dentro (
), onde
é o raio da esfera.
Passo 5
Para
:
A carga total dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera,
. A superfície gaussiana é uma esfera de raio
, então o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para
:
Então, fora da esfera, o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual.
Passo 6
Para
:
Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana não é toda a carga
, mas apenas uma parte proporcional ao volume da região interna. Supondo uma distribuição de carga uniformemente distribuída, a densidade volumétrica de carga é:
A carga interna à superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância do centro.
Resposta
O campo elétrico de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Onde:
-
é o campo elétrico a uma distânciaE(r) do centro da esfera,r -
é a carga total da esfera,Q -
é o raio da esfera,R -
é a permissividade do vácuo.epsilon0