Campo Elétrico para Distribuições Contínuas
Volume de Cargas: distribuição volumétrica de carga
Faça o desenvolvimento matemático detalhado para se chegar à equação do campo elétrico de uma esfera carregada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Campo Elétrico para Distribuições Contínuas, focando numa esfera carregada. O que a gente precisa aqui é entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga que está espalhada no volume de uma esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para encontrar campos elétricos de simetria específica, como a esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( epsilon0). A equação é:
oint E cdot dA = Qinternoepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície fechada.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera carregada, vamos escolher uma superfície gaussiana também esférica, de raio r, concêntrica com a esfera carregada. A simetria esférica nos ajuda porque o campo elétrico terá a mesma intensidade em todos os pontos dessa superfície e será radial.

Passo 4

Vamos considerar dois casos: quando o ponto onde queremos calcular o campo ( r) está fora da esfera carregada ( r > R) e quando está dentro ( r < R), onde R é o raio da esfera.

Passo 5

Para r > R:
A carga total dentro da superfície gaussiana é toda a carga da esfera, Q. A superfície gaussiana é uma esfera de raio r, então o fluxo elétrico fica:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4piepsilon0 r^2
Então, fora da esfera, o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual.

Passo 6

Para r < R:
Aqui, a carga dentro da superfície gaussiana não é toda a carga Q, mas apenas uma parte proporcional ao volume da região interna. Supondo uma distribuição de carga uniformemente distribuída, a densidade volumétrica de carga é:
rho = Q43pi R^3
A carga interna à superfície gaussiana é:
Qinterno = rho cdot 43pi r^3 = Q cdot (r^3R^3)
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qinternoepsilon0 = Q r^34piepsilon0 R^3
Resolvendo para E:
E = Q r4piepsilon0 R^3
Então, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância do centro.

Resposta

O campo elétrico de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
E(r) = Q4piepsilon0 r^2 & para r >= R Q r4piepsilon0 R^3 & para r < R
Onde:
  • E(r) é o campo elétrico a uma distância r do centro da esfera,
  • Q é a carga total da esfera,
  • R é o raio da esfera,
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo.

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