2.27 i Dado o campo elétrico \mathbf{E}=(4 x-2 y) \mathbf{a}_{x}-(2 x+4 y) \mathbf{a}_{y}, calcule: (a) a equação da linha de força que passa pelo ponto P(2,3,-4); (b) um vetor unitário que especifique a direção e sentido de \mathbf{E} em Q(3,-2,5).

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico \mathbf{E}=(4x-2y)\,\mathbf{a}_{x}-(2x+4y)\,\mathbf{a}_{y} e pede duas coisas:
(a) a equação da linha de força que passa pelo ponto P(2,3,-4);
(b) um vetor unitário que especifique a direção e sentido de \mathbf{E} no ponto Q(3,-2,5).
Informações relevantes dadas: as componentes de \mathbf{E} em x,y,z são \;E_x=4x-2y,\;E_y=-(2x+4y),\;E_z=0. A linha de força que nos interessa deve passar por P e o vetor unitário deve apontar no sentido de \mathbf{E} em Q.

Passo 2

Entendendo o que é “linha de força” (aula rápida e prática):
Uma linha de força de um campo vetorial \mathbf{E}(x,y,z) é uma curva cujas tangentes em cada ponto têm a direção do campo naquele ponto. Em termos diferenciais, se a curva é parametrizada por t como (x(t),y(t),z(t)), então as equações diferenciais que definem as linhas de força são
\frac{dx}{E_x}=\frac{dy}{E_y}=\frac{dz}{E_z}.
Isso significa que, ao caminhar ao longo da linha, as variações dx,dy,dz estão proporcionais às componentes do campo. Na prática, igualamos as frações duas a duas e resolvemos as equações resultantes para obter a equação da curva.

Passo 3

Aplicando isso ao campo dado: substituímos E_x,E_y,E_z:
\frac{dx}{4x-2y}=\frac{dy}{-2x-4y}=\frac{dz}{0}.
Observação importante: como E_z=0, a igualdade \dfrac{dz}{0} indica que dz deve ser zero ao longo da linha (não podemos ter denominação 0 com dz\neq 0). Logo as linhas de força ficam em planos de coordenada z= constante.

Passo 4

Determinando a coordenada z da linha de força que passa por P(2,3,-4):
Como dz=0 ao longo da linha, z é constante ao longo dessa linha. O ponto P tem z=-4, então a linha de força que passa por P tem
z=-4.

Passo 5

Agora vamos obter a curva no plano z=-4 ligando x e y. Igualamos as duas primeiras frações:
\frac{dx}{4x-2y}=\frac{dy}{-2x-4y}.
Fazendo a operação cruzada para obter uma equação diferencial em forma diferencial total:
(-2x-4y)\,dx=(4x-2y)\,dy.
Reescrevendo em forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, obtemos
M(x,y)=-2x-4y,\qquad N(x,y)=-4x+2y,
pois ao subtrair e organizar temos (-2x-4y)\,dx-(4x-2y)\,dy=0 e então N=-(4x-2y)=-4x+2y.

Passo 6

Testando se a equação diferencial é exata (explicação do conceito):
Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy. Uma maneira prática de verificar isso é checar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x-4y)=-4,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-4x+2y)=-4.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata; existe \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy.

Passo 7

Encontrando a função potencial \Phi(x,y) (integração passo a passo):
Começamos integrando M(x,y) em relação a x:
\int M\,dx=\int(-2x-4y)\,dx=-x^{2}-4xy+g(y),
onde g(y) é uma função de y só (constante de integração “funcional”).
Agora diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial}{\partial y}\big(-x^{2}-4xy+g(y)\big)=-4x+g'(y).
Devemos ter -4x+g'(y)=N(x,y)=-4x+2y. Assim
g'(y)=2y.
Integrando g'(y) obtemos
g(y)=\int 2y\,dy=y^{2}+C.
Logo, uma função potencial (omitindo constante global) é
\Phi(x,y)=-x^{2}-4xy+y^{2}.

Passo 8

Equação implícita da linha de força e constante determinada por P:
Como d\Phi=0 ao longo de uma curva nível, as linhas de força são curvas de nível \Phi(x,y)=\text{constante}. Portanto
-x^{2}-4xy+y^{2}=C.
Para determinar C usamos o ponto P(2,3,-4). Substituímos x=2 e y=3:
C=- (2)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 + (3)^{2} = -4 -24 +9 = -19.
Assim a equação da linha de força no plano z=-4 que passa por P é
-x^{2}-4xy+y^{2}=-19.
Podemos multiplicar por -1 e reorganizar para ficar mais “bonito”:
x^{2}+4xy-y^{2}=19,
com z=-4.

Passo 9

Resumo (parte a): a linha de força pedida está dada implicitamente por
x^{2}+4xy-y^{2}=19,\qquad z=-4.
(Essa é uma curva no plano z=-4.)

Passo 10

Parte (b): conceito de vetor unitário (aula curta):
Um vetor unitário que indica a direção e sentido do campo em um ponto é simplesmente o campo naquele ponto dividido por sua magnitude. Ou seja, se \mathbf{E}(x_0,y_0,z_0) é o vetor do campo no ponto, o vetor unitário \hat{\mathbf{u}} é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{E}(x_0,y_0,z_0)}{\|\mathbf{E}(x_0,y_0,z_0)\|}.
Isto respeita tanto a direção quanto o sentido (mesmo sentido) de \mathbf{E}.

Passo 11

Calculando \mathbf{E} em Q(3,-2,5) (passo a passo aritmético):
Avaliaremos as componentes no ponto x=3,\;y=-2.
E_x(3,-2)=4x-2y=4\cdot 3 -2\cdot(-2)=12+4=16,
E_y(3,-2)=-(2x+4y)=-(2\cdot 3 +4\cdot(-2))=-(6-8)= -(-2)=2,
E_z(3,-2)=0.
Logo
\mathbf{E}(3,-2,5)=16\,\mathbf{a}_{x}+2\,\mathbf{a}_{y}+0\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 12

Magnitudedo vetor e simplificação:
Calculamos a norma
\|\mathbf{E}(3,-2,5)\|=\sqrt{16^{2}+2^{2}+0^{2}}=\sqrt{256+4}=\sqrt{260}.
Fatorando \sqrt{260}= \sqrt{4\cdot 65}=2\sqrt{65}.
Portanto o vetor unitário é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{2\sqrt{65}}\big(16\,\mathbf{a}_{x}+2\,\mathbf{a}_{y}\big).
Simplificando os coeficientes dividindo por 2:
\hat{\mathbf{u}}=\frac{8}{\sqrt{65}}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{1}{\sqrt{65}}\,\mathbf{a}_{y}.
(Esse vetor tem componente z nula e aponta exatamente no mesmo sentido de \mathbf{E} em Q.)

Resposta

(a) x^{2}+4xy-y^{2}=19,\quad z=-4\n
(b) \dfrac{8}{\sqrt{65}}\,\mathbf{a}_{x}+\dfrac{1}{\sqrt{65}}\,\mathbf{a}_{y}

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