2.27 i Dado o campo elétrico
, calcule:
a equação da linha de força que passa pelo ponto
; (b) um vetor unitário que especifique a direção e sentido de
em
.
Passo 1
O enunciado fornece o campo elétrico
e pede duas coisas:
(a) a equação da linha de força que passa pelo ponto ;
(b) um vetor unitário que especifique a direção e sentido de no ponto
.
Informações relevantes dadas: as componentes de em
são
. A linha de força que nos interessa deve passar por
e o vetor unitário deve apontar no sentido de
em
.
(a) a equação da linha de força que passa pelo ponto
(b) um vetor unitário que especifique a direção e sentido de
Informações relevantes dadas: as componentes de
Passo 2
Entendendo o que é “linha de força” (aula rápida e prática):
Uma linha de força de um campo vetorial é uma curva cujas tangentes em cada ponto têm a direção do campo naquele ponto. Em termos diferenciais, se a curva é parametrizada por
como
, então as equações diferenciais que definem as linhas de força são
Uma linha de força de um campo vetorial
Isso significa que, ao caminhar ao longo da linha, as variações
estão proporcionais às componentes do campo. Na prática, igualamos as frações duas a duas e resolvemos as equações resultantes para obter a equação da curva.
Passo 3
Aplicando isso ao campo dado: substituímos
:
Observação importante: como
, a igualdade
indica que
deve ser zero ao longo da linha (não podemos ter denominação 0 com
). Logo as linhas de força ficam em planos de coordenada
constante.
Passo 4
Determinando a coordenada
da linha de força que passa por
:
Como ao longo da linha,
é constante ao longo dessa linha. O ponto
tem
, então a linha de força que passa por
tem
Como
Passo 5
Agora vamos obter a curva no plano
ligando
e
. Igualamos as duas primeiras frações:
Fazendo a operação cruzada para obter uma equação diferencial em forma diferencial total:
Reescrevendo em forma padrão
, obtemos
pois ao subtrair e organizar temos
e então
.
Passo 6
Testando se a equação diferencial é exata (explicação do conceito):
Uma equação é exata se existe uma função
tal que
. Uma maneira prática de verificar isso é checar se
.
Calculamos:
Uma equação
Calculamos:
Como
, a equação é exata; existe
tal que
.
Passo 7
Encontrando a função potencial
(integração passo a passo):
Começamos integrando em relação a
:
Começamos integrando
onde
é uma função de
só (constante de integração “funcional”).
Agora diferenciamos essa expressão em relação a e igualamos a
:
Agora diferenciamos essa expressão em relação a
Devemos ter
. Assim
Integrando
obtemos
Logo, uma função potencial (omitindo constante global) é
Passo 8
Equação implícita da linha de força e constante determinada por
:
Como ao longo de uma curva nível, as linhas de força são curvas de nível
. Portanto
Como
Para determinar
usamos o ponto
. Substituímos
e
:
Assim a equação da linha de força no plano
que passa por
é
Podemos multiplicar por
e reorganizar para ficar mais “bonito”:
com
.
Passo 9
Resumo (parte a): a linha de força pedida está dada implicitamente por
(Essa é uma curva no plano
.)
Passo 10
Parte (b): conceito de vetor unitário (aula curta):
Um vetor unitário que indica a direção e sentido do campo em um ponto é simplesmente o campo naquele ponto dividido por sua magnitude. Ou seja, se é o vetor do campo no ponto, o vetor unitário
é
Um vetor unitário que indica a direção e sentido do campo em um ponto é simplesmente o campo naquele ponto dividido por sua magnitude. Ou seja, se
Isto respeita tanto a direção quanto o sentido (mesmo sentido) de
.
Passo 11
Calculando
em
(passo a passo aritmético):
Avaliaremos as componentes no ponto .
Avaliaremos as componentes no ponto
Logo
Passo 12
Magnitudedo vetor e simplificação:
Calculamos a norma
Calculamos a norma
Fatorando
.
Portanto o vetor unitário é
Portanto o vetor unitário é
Simplificando os coeficientes dividindo por
:
(Esse vetor tem componente
nula e aponta exatamente no mesmo sentido de
em
.)
Resposta
(a)
\n
(b)