O campo elétrico gerado por uma campo magnético variável tem a forma
\vec{E}=\frac{\alpha(t)}{2}(-y \hat{x}+x \hat{y}) .
Calcule a forma do campo magnético
\vec{B}. Considere \alpha(t)= \sin ^{2}(\omega t).

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}(\vec{r},t)=\frac{\alpha(t)}{2}\big(-y\,\hat{x}+x\,\hat{y}\big)
com \alpha(t)=\sin^{2}(\omega t), e pede para encontrar a forma do campo magnético \vec{B}.
Informações relevantes que temos: E_x=-\dfrac{\alpha(t)}{2}y, E_y=\dfrac{\alpha(t)}{2}x, E_z=0.
O que a questão pede: calcular \vec{B}(\vec{r},t), a partir do campo elétrico dado.

Passo 2

A relação que liga \vec{E} e \vec{B} em eletromagnetismo é a lei de Faraday (uma das equações de Maxwell no vácuo):
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Explicando com calma: o operador \nabla\times (rotacional ou curl) mede como \vec{E} “gira” no espaço; a lei diz que esse giro espacial do campo elétrico é igual ao negativo da taxa de variação temporal do campo magnético. Portanto, se eu calcular \nabla\times\vec{E} posso integrar em relação ao tempo para obter \vec{B} (até uma “constante” de integração que pode depender das coordenadas espaciais).

Passo 3

Primeiro escrevo explicitamente as componentes do campo elétrico (já listadas, mas repito para clareza):
E_x=-\frac{\alpha(t)}{2}y,\qquad E_y=\frac{\alpha(t)}{2}x,\qquad E_z=0.
Agora calculo o rotacional em coordenadas cartesianas. A componente z do rotacional é
(\nabla\times\vec{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.
Faço as derivadas parciais cuidadosamente (lembre: \alpha(t) depende só de t, então é tratada como constante nas derivadas espaciais):
\frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\alpha(t)}{2}x\right)=\frac{\alpha(t)}{2},
\frac{\partial E_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\alpha(t)}{2}y\right)=-\frac{\alpha(t)}{2}.
Portanto
(\nabla\times\vec{E})_z=\frac{\alpha(t)}{2}-\left(-\frac{\alpha(t)}{2}\right)=\alpha(t).
As outras componentes do rotacional ( x e y) envolvem derivadas em z de E e como E não tem dependência em z nem componente E_z, essas componentes são zero. Logo
\nabla\times\vec{E}=\alpha(t)\,\hat{z}.

Passo 4

Aplicando Faraday:
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\quad\Longrightarrow\quad \alpha(t)\,\hat{z}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Isso significa que a derivada temporal de \vec{B} é
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=-\alpha(t)\,\hat{z}.
Ou seja, apenas a componente z de \vec{B} varia no tempo; as componentes x,y têm derivada temporal zero segundo esta equação. Integro esta igualdade em relação ao tempo t: a integral da derivada dá \vec{B} mais uma “constante” de integração que pode depender das coordenadas espaciais (porque integramos em t, não em x,y,z):
\vec{B}(\vec{r},t)=-\int \alpha(t)\,dt\;\hat{z}+\vec{B}_0(\vec{r}),
onde \vec{B}_0(\vec{r}) é uma função do espaço que representa as condições iniciais (valor de \vec{B} em algum tempo de referência). Pelo cálculo do rotacional vimos que \nabla\times\vec{E} tem só componente z, então uma escolha natural (e simétrica) é assumir \vec{B}_0(\vec{r})=B_0(x,y)\,\hat{z} (dependência em x,y mas não em z); a equação de Maxwell \nabla\cdot\vec{B}=0 exige \partial B_z/\partial z=0, compatível com essa escolha.

Passo 5

Agora calculo explicitamente a integral temporal com \alpha(t)=\sin^{2}(\omega t). Uso a identidade trigonométrica
\sin^{2}(\omega t)=\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}.
Então
\int \alpha(t)\,dt=\int \sin^{2}(\omega t)\,dt=\int\frac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt=\frac{t}{2}-\frac{1}{4\omega}\sin(2\omega t)+C,
onde C é uma constante de integração temporal (absorvida depois em B_0). Portanto
-\int \alpha(t)\,dt=-\frac{t}{2}+\frac{1}{4\omega}\sin(2\omega t)+\tilde{C}.

Passo 6

Substituindo no resultado do Passo 4 obtemos a forma geral do campo magnético:
\vec{B}(\vec{r},t)=\left(-\frac{t}{2}+\frac{\sin(2\omega t)}{4\omega}\right)\hat{z}+ \vec{B}_0(\vec{r}),
onde \vec{B}_0(\vec{r}) é o termo independente do tempo (condição inicial). Seguindo a simetria do problema e a exigência \nabla\cdot\vec{B}=0, uma escolha simples é \vec{B}_0(\vec{r})=B_{\mathrm{const}}\,\hat{z} com B_{\mathrm{const}} constante espacial (ou 0 se quisermos a solução particular com campo magnético nulo em t=0 após ajustar constantes). Observação física: o termo -\tfrac{t}{2} cresce linearmente no tempo porque o valor médio de \sin^{2} não é zero; isso reflete que estamos integrando uma fonte temporal não nula sem impor uma condição inicial particular — em problemas físicos reais a presença de correntes, contornos ou condições iniciais remove ambiguidades.

Passo 7

Resumo prático: a componente espacial relevante é a componente z. Se escolhermos a constante de integração espacial igual a zero (solução particular simples, por exemplo impondo \vec{B}(\vec{r},0)=\vec{0} ao ajustar constantes), obtemos a solução explícita e simples.

Resposta

\vec{B}(\vec{r},t)=\left(-\frac{t}{2}+\frac{\sin(2\omega t)}{4\omega}\right)\hat{z}+ \vec{B}_0(\vec{r}),
Solução particular (escolhendo \vec{B}_0(\vec{r})=\vec{0}):
\vec{B}(\vec{r},t)=\left(-\frac{t}{2}+\frac{\sin(2\omega t)}{4\omega}\right)\hat{z}.

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