O campo elétrico gerado por uma campo magnético variável tem a forma
Calcule a forma do campo magnético
. Considere
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
com
, e pede para encontrar a forma do campo magnético
.
Informações relevantes que temos: ,
,
.
O que a questão pede: calcular , a partir do campo elétrico dado.
Informações relevantes que temos:
O que a questão pede: calcular
Passo 2
A relação que liga
e
em eletromagnetismo é a lei de Faraday (uma das equações de Maxwell no vácuo):
Explicando com calma: o operador
(rotacional ou curl) mede como
“gira” no espaço; a lei diz que esse giro espacial do campo elétrico é igual ao negativo da taxa de variação temporal do campo magnético. Portanto, se eu calcular
posso integrar em relação ao tempo para obter
(até uma “constante” de integração que pode depender das coordenadas espaciais).
Passo 3
Primeiro escrevo explicitamente as componentes do campo elétrico (já listadas, mas repito para clareza):
Agora calculo o rotacional em coordenadas cartesianas. A componente
do rotacional é
Faço as derivadas parciais cuidadosamente (lembre:
depende só de
, então é tratada como constante nas derivadas espaciais):
Portanto
As outras componentes do rotacional (
e
) envolvem derivadas em
de
e como
não tem dependência em
nem componente
, essas componentes são zero. Logo
Passo 4
Aplicando Faraday:
Isso significa que a derivada temporal de
é
Ou seja, apenas a componente
de
varia no tempo; as componentes
têm derivada temporal zero segundo esta equação. Integro esta igualdade em relação ao tempo
: a integral da derivada dá
mais uma “constante” de integração que pode depender das coordenadas espaciais (porque integramos em
, não em
):
onde
é uma função do espaço que representa as condições iniciais (valor de
em algum tempo de referência). Pelo cálculo do rotacional vimos que
tem só componente
, então uma escolha natural (e simétrica) é assumir
(dependência em
mas não em
); a equação de Maxwell
exige
, compatível com essa escolha.
Passo 5
Agora calculo explicitamente a integral temporal com
. Uso a identidade trigonométrica
Então
onde
é uma constante de integração temporal (absorvida depois em
). Portanto
Passo 6
Substituindo no resultado do Passo 4 obtemos a forma geral do campo magnético:
onde
é o termo independente do tempo (condição inicial). Seguindo a simetria do problema e a exigência
, uma escolha simples é
com
constante espacial (ou
se quisermos a solução particular com campo magnético nulo em
após ajustar constantes). Observação física: o termo
cresce linearmente no tempo porque o valor médio de
não é zero; isso reflete que estamos integrando uma fonte temporal não nula sem impor uma condição inicial particular — em problemas físicos reais a presença de correntes, contornos ou condições iniciais remove ambiguidades.
Passo 7
Resumo prático: a componente espacial relevante é a componente
. Se escolhermos a constante de integração espacial igual a zero (solução particular simples, por exemplo impondo
ao ajustar constantes), obtemos a solução explícita e simples.
Resposta
Solução particular (escolhendo
):