(2.0 pts) Um anel fino e homogēneo de raio R e massa M rola sem deslizamento, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo \theta. O anel desce uma distância vertical h para chegar até a base da rampa. (Considere o momento de inércia do anel como I=M R^{2} ) Ao chegar à base da rampa,
O i) (1.0) Qual a velocidade do centro de massa ( v_{\mathrm{cm}} ) do anel?
O ii) (0.5) Qual a velocidade do ponto mais alto do anel em relaçāo a superficie?
O iii) (0.5) Qual a razão v_{c m} / v_{p} onde v_{p} é a velocidade de uma partícula puntual de massa M após sofrer uma queda livre à uma altura h e partindo do repouso. Interprete o resultado de forma percentual.

Passo 1

O enunciado dá um anel fino e homogêneo de raio R e massa M que rola sem deslizamento, partindo do repouso e descendo uma rampa. O anel desce uma distância vertical h até a base. Foi dado também o momento de inércia do anel: I=M R^{2}. As perguntas são:
  1. Qual a velocidade do centro de massa do anel ao chegar à base, v_{\mathrm{cm}}?
  2. Qual a velocidade do ponto mais alto do anel em relação à superfície nesse instante?
  3. Qual a razão v_{c m}/v_{p}, onde v_{p} é a velocidade de uma partícula pontual de massa M que cai livremente de altura h a partir do repouso, e interprete o resultado em porcentagem?
Passo 1 só lista o que foi dado e o que se pede; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): como o anel parte do repouso e não há trabalho de forças dissipativas importantes (assumimos atrito estático que não realiza trabalho no deslocamento instantâneo do centro de massa porque não há deslizamento), a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a energia potencial gravitacional inicial transforma-se em energia cinética translacional do centro de massa mais energia cinética de rotação do anel. Vou escrever isso como fórmula e explicar cada termo.
Seja g a aceleração da gravidade, h a altura vertical descida, v_{\mathrm{cm}} a velocidade do centro de massa ao final, e \omega a velocidade angular do anel naquele instante. Energia inicial (potencial) e energias finais:
\text{energia inicial} = M g h,
\text{energia final} = \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} \;(\text{translacional})\;+\;\tfrac{1}{2}I\omega^{2}\;(\text{rotacional}).
Aqui M g h é a energia potencial perdida; \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} é a energia cinética de translação do centro de massa; e \tfrac{1}{2}I\omega^{2} é a energia cinética de rotação em torno do centro de massa. I é o momento de inércia dado como I=M R^{2}.

Passo 3

Condição de rolagem sem deslizamento (explicação didática): “sem deslizamento” significa que o ponto de contato com a superfície está instantaneamente em repouso relativo à superfície. Matemática simples dessa condição:
v_{\mathrm{cm}}=\omega R.
Aqui v_{\mathrm{cm}} é a velocidade linear do centro do anel, \omega é a velocidade angular, e R é o raio. Essa relação permite eliminar \omega nas equações usando \omega = v_{\mathrm{cm}}/R.

Passo 4

Substituímos I e \omega na equação de conservação de energia. Primeiro escrevo a equação de conservação:
M g h = \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} + \tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Agora substituo I = M R^{2} e \omega = v_{\mathrm{cm}}/R:
M g h = \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} + \tfrac{1}{2}(M R^{2})\left(\frac{v_{\mathrm{cm}}}{R}\right)^{2}.
Simplifico o segundo termo: \left(\frac{v_{\mathrm{cm}}}{R}\right)^{2} = \frac{v_{\mathrm{cm}}^{2}}{R^{2}}, então
\tfrac{1}{2}(M R^{2})\frac{v_{\mathrm{cm}}^{2}}{R^{2}} = \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2}.
Portanto a soma das energias cinéticas fica
\tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} + \tfrac{1}{2}M v_{\mathrm{cm}}^{2} = M v_{\mathrm{cm}}^{2}.
Assim a equação de conservação reduz-se a
M g h = M v_{\mathrm{cm}}^{2}.

Passo 5

Resolvo a equação para v_{\mathrm{cm}}. Cancelando M (não-nulo) e isolando v_{\mathrm{cm}}:
g h = v_{\mathrm{cm}}^{2} \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{cm}} = \sqrt{g h}.
Explicação e interpretação rápida: a velocidade do centro de massa cresce com a raiz da altura; note que aqui o fator numérico é diferente do caso de queda livre (veja passo 7), porque parte da energia potencial foi “gasta” em rotaçāo.

Passo 6

Velocidade do ponto mais alto do anel (explicação didática): num corpo que rola sem deslizamento, a velocidade de um ponto qualquer é soma vetorial da velocidade do centro de massa e da velocidade do ponto relativa ao centro devido à rotação. Para o ponto do topo (o ponto diametralmente oposto ao ponto de contato), a velocidade relativa ao centro tem módulo \omega R e direção igual à da velocidade do centro de massa (ambas para a frente), portanto os módulos somam:
v_{\text{top}} = v_{\mathrm{cm}} + \omega R.
Usando a condição de rolagem \omega R = v_{\mathrm{cm}}, obtemos
v_{\text{top}} = v_{\mathrm{cm}} + v_{\mathrm{cm}} = 2 v_{\mathrm{cm}}.
Substituindo v_{\mathrm{cm}}=\sqrt{g h}:
v_{\text{top}} = 2\sqrt{g h}.

Passo 7

Comparação com a partícula em queda livre (explicação didática): para uma partícula pontual que cai livremente de altura h a partir do repouso, a conversão de energia potencial em energia cinética translacional dá
M g h = \tfrac{1}{2}M v_{p}^{2}.
Cancelando M e isolando v_{p} resulta
v_{p} = \sqrt{2 g h}.
Agora calculo a razão pedida:
\frac{v_{\mathrm{cm}}}{v_{p}} = \frac{\sqrt{g h}}{\sqrt{2 g h}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,7071.
Interpretação percentual (didática e motivadora): isto significa que o centro de massa do anel atinge cerca de 70{,}71\% da velocidade que uma partícula pontual atingiria caindo livremente da mesma altura. A razão por quê: o anel gasta parte da energia potencial em rotação, então sobra menos energia para a velocidade de translação do centro de massa.

Resposta

v_{\mathrm{cm}}=\sqrt{g h}
v_{\text{top}}=2\sqrt{g h}
\displaystyle \frac{v_{\mathrm{cm}}}{v_{p}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\;(\text{ou }70{,}71\%)

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