(2.0 pts) Um anel fino e homogēneo de raio R e massa
rola sem deslizamento, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo
. O anel desce uma distância vertical
para chegar até a base da rampa. (Considere o momento de inércia do anel como
) Ao chegar à base da rampa,
O i) (1.0) Qual a velocidade do centro de massa (
) do anel?
O ii) (0.5) Qual a velocidade do ponto mais alto do anel em relaçāo a superficie?
O iii) (0.5) Qual a razão
onde
é a velocidade de uma partícula puntual de massa
após sofrer uma queda livre à uma altura
e partindo do repouso. Interprete o resultado de forma percentual.
O ii) (0.5) Qual a velocidade do ponto mais alto do anel em relaçāo a superficie?
O iii) (0.5) Qual a razão
Passo 1
O enunciado dá um anel fino e homogêneo de raio
e massa
que rola sem deslizamento, partindo do repouso e descendo uma rampa. O anel desce uma distância vertical
até a base. Foi dado também o momento de inércia do anel:
. As perguntas são:
- Qual a velocidade do centro de massa do anel ao chegar à base,
? - Qual a velocidade do ponto mais alto do anel em relação à superfície nesse instante?
- Qual a razão
, onde é a velocidade de uma partícula pontual de massa que cai livremente de altura a partir do repouso, e interprete o resultado em porcentagem?
Passo 1 só lista o que foi dado e o que se pede; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): como o anel parte do repouso e não há trabalho de forças dissipativas importantes (assumimos atrito estático que não realiza trabalho no deslocamento instantâneo do centro de massa porque não há deslizamento), a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a energia potencial gravitacional inicial transforma-se em energia cinética translacional do centro de massa mais energia cinética de rotação do anel. Vou escrever isso como fórmula e explicar cada termo.
Seja
a aceleração da gravidade,
a altura vertical descida,
a velocidade do centro de massa ao final, e
a velocidade angular do anel naquele instante. Energia inicial (potencial) e energias finais:
Aqui
é a energia potencial perdida;
é a energia cinética de translação do centro de massa; e
é a energia cinética de rotação em torno do centro de massa.
é o momento de inércia dado como
.
Passo 3
Condição de rolagem sem deslizamento (explicação didática): “sem deslizamento” significa que o ponto de contato com a superfície está instantaneamente em repouso relativo à superfície. Matemática simples dessa condição:
Aqui
é a velocidade linear do centro do anel,
é a velocidade angular, e
é o raio. Essa relação permite eliminar
nas equações usando
.
Passo 4
Substituímos
e
na equação de conservação de energia. Primeiro escrevo a equação de conservação:
Agora substituo
e
:
Simplifico o segundo termo:
, então
Portanto a soma das energias cinéticas fica
Assim a equação de conservação reduz-se a
Passo 5
Resolvo a equação para
. Cancelando
(não-nulo) e isolando
:
Explicação e interpretação rápida: a velocidade do centro de massa cresce com a raiz da altura; note que aqui o fator numérico é diferente do caso de queda livre (veja passo 7), porque parte da energia potencial foi “gasta” em rotaçāo.
Passo 6
Velocidade do ponto mais alto do anel (explicação didática): num corpo que rola sem deslizamento, a velocidade de um ponto qualquer é soma vetorial da velocidade do centro de massa e da velocidade do ponto relativa ao centro devido à rotação. Para o ponto do topo (o ponto diametralmente oposto ao ponto de contato), a velocidade relativa ao centro tem módulo
e direção igual à da velocidade do centro de massa (ambas para a frente), portanto os módulos somam:
Usando a condição de rolagem
, obtemos
Substituindo
:
Passo 7
Comparação com a partícula em queda livre (explicação didática): para uma partícula pontual que cai livremente de altura
a partir do repouso, a conversão de energia potencial em energia cinética translacional dá
Cancelando
e isolando
resulta
Agora calculo a razão pedida:
Interpretação percentual (didática e motivadora): isto significa que o centro de massa do anel atinge cerca de
da velocidade que uma partícula pontual atingiria caindo livremente da mesma altura. A razão por quê: o anel gasta parte da energia potencial em rotação, então sobra menos energia para a velocidade de translação do centro de massa.