Um campo elétrico com linhas de campo circulares é induzido quando o campo magnético é aplicado. Suponha que o campo magnético aumente linearmente de zero a B em um intervalo de tempo \Delta t. De acordo com a Eq. 30-25, o módulo do campo elétrico na posição da órbita é dado por
E=\left(\frac{r}{2}\right) \frac{d B}{d t}=\left(\frac{r}{2}\right) \frac{B}{t},
em que r é o raio da órbita. O campo elétrico induzido é tangente à órbita e muda a velocidade do elétron. A variação de velocidade é dada por
\Delta v=a \Delta t=\frac{e E}{m_{e}} \Delta t=\left(\frac{e}{m_{e}}\right)\left(\frac{r}{2}\right)\left(\frac{B}{\Delta t}\right) \Delta t=\frac{e r B}{2 m_{e}} .
A corrente associada ao movimento do elétron é i=e v / 2 \pi r e o momento dipolar magnético é
\mu=A i=\left(\pi r^{2}\right)\left(\frac{e v}{2 \pi r}\right)=\frac{1}{2} e v r
A variação do momento dipolar magnético é
\Delta \mu=\frac{1}{2} e r \Delta v=\frac{1}{2} e r\left(\frac{e r B}{2 m_{e}}\right)=\frac{e^{2} r^{2} B}{4 m_{e}}

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético que aumenta linearmente de zero até \,B\, em um intervalo de tempo \,\Delta t\,. Isso induz um campo elétrico circular (tangencial) na posição da órbita de raio \,r. O enunciado apresenta já a expressão
E=\left(\frac{r}{2}\right)\frac{dB}{dt}=\left(\frac{r}{2}\right)\frac{B}{\Delta t},
onde E é o módulo do campo elétrico induzido. Também nos é mostrado que a variação de velocidade do elétron é
\Delta v=\frac{e r B}{2 m_{e}},
e que o momento dipolar magnético associado ao elétron em movimento é
\mu=\frac{1}{2} e v r.
A questão pede calcular a variação do momento dipolar magnético \Delta\mu quando o campo magnético aumenta conforme dito, e demonstrar a expressão final
\Delta\mu=\frac{e^{2} r^{2} B}{4 m_{e}}.

Passo 2

Vou começar explicando por que o campo elétrico induzido tem a magnitude dada. Use a lei de Faraday (forma integral) para um circuito fechado na órbita circular:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=-\frac{d\Phi_{B}}{dt},
onde \Phi_{B} é o fluxo magnético através da área do círculo de raio \,r. Aqui:
\Phi_{B}=B\cdot(\text{área})=B\cdot \pi r^{2}.á
Como o campo magnético muda apenas em intensidade e é aproximadamente uniforme sobre a área, temos
\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\pi r^{2}\frac{dB}{dt}.
Para simetria circular o campo elétrico induzido é tangencial e aproximadamente constante em módulo ao longo da circunferência. Então o lado esquerdo da lei de Faraday fica
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=E\,(2\pi r).
Substituindo na lei de Faraday (e tomando o módulo),
E\,(2\pi r)=\pi r^{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|.
Cancelando \pi r dos dois lados obtemos a expressão do enunciado (módulo):
E=\left(\frac{r}{2}\right)\left|\frac{dB}{dt}\right|.
Se o enunciado diz que B aumenta linearmente de 0 a B em tempo \Delta t, então \left|dB/dt\right|=B/\Delta t, daí
E=\left(\frac{r}{2}\right)\frac{B}{\Delta t}.

Passo 3

Agora explico como o campo elétrico muda a velocidade do elétron. A força elétrica sobre o elétron de carga (módulo) e é F=eE (aqui usamos e como a magnitude da carga do elétron; lembre que a carga do elétron é negativa, mas estamos trabalhando com magnitudes para a variação de velocidade). Pela segunda lei de Newton:
a=\frac{F}{m_{e}}=\frac{eE}{m_{e}},
onde \,a\, é a aceleração tangencial e \,m_{e}\, é a massa do elétron. Se essa aceleração atua durante o tempo \Delta t, a variação de velocidade tangencial é
\Delta v=a\,\Delta t=\frac{eE}{m_{e}}\Delta t.

Passo 4

Substituímos E obtido no Passo 2 na expressão de \Delta v. Usando E=(r/2)(B/\Delta t) temos:
\Delta v=\frac{e}{m_{e}}\left(\frac{r}{2}\right)\left(\frac{B}{\Delta t}\right)\Delta t.
Os \Delta t cancelam, resultando
\Delta v=\frac{e r B}{2 m_{e}}.
Essa é a variação de velocidade tangencial do elétron devido ao campo elétrico induzido.

Passo 5

Agora vamos relacionar velocidade com corrente elétrica associada ao elétron em órbita. Um elétron que se move com velocidade tangencial v em uma órbita circular de raio r tem período de revolução
T=\frac{2\pi r}{v}.
A corrente (módulo) associada a uma carga que passa repetidamente é carga por período, então
i=\frac{e}{T}=\frac{e v}{2\pi r}.
Aqui usamos a mesma convenção de tratar e como magnitude da carga; se quisermos o sinal da corrente apontar de forma convencional, é possível incluir o sinal negativo do elétron, mas para o cálculo do momento magnético usamos a magnitude e a direção será discutida separadamente.

Passo 6

A definição do momento dipolar magnético \mu de um circuito é a corrente vezes a área do laço (módulo):
\mu = i \, A.
Para o círculo, A=\pi r^{2}. Substituindo i do Passo 5:
\mu=\left(\frac{e v}{2\pi r}\right)\left(\pi r^{2}\right).
Simplificando:
\mu=\frac{1}{2} e v r.
Isso mostra a relação direta entre a velocidade tangencial v e o momento magnético da órbita.

Passo 7

Queremos a variação \Delta\mu quando a velocidade muda em \Delta v. Como \mu depende linearmente de v, temos
\Delta\mu=\frac{1}{2} e r \,\Delta v.
Agora substituímos \Delta v do Passo 4:
\Delta\mu=\frac{1}{2} e r \left(\frac{e r B}{2 m_{e}}\right).
Multiplicando os fatores:
\Delta\mu=\frac{e^{2} r^{2} B}{4 m_{e}}.

Passo 8

Comentário final (didático e físico): a expressão que obtivemos é o módulo da variação do momento magnético. Pelo princípio de Lenz (e pelo sinal da carga do elétron), a mudança no momento magnético do elétron tende a opor-se à variação do campo aplicado; ou seja, o vetor \Delta\boldsymbol{\mu} aponta na direção que cria um campo magnético oposto ao aumento de \mathbf{B}. Aqui tratamos magnitudes, mas é importante, numa prova, mencionar que a direção do momento induzido é tal que resiste à mudança do fluxo magnético.

Resposta

\Delta\mu=\frac{e^{2} r^{2} B}{4 m_{e}}

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