Seja R o raio das placas do capacitor e seja r a distância entre o ponto considerado e o eixo do capacitor. O módulo do campo magnético é dado pelas Eqs. 32-8 e 32-9:
B=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} r}{2} \frac{d E}{d t} \quad(r \leq R)
e
B=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R^{2}}{2 r} \frac{d E}{d t} \quad(r \geq R)
O campo magnético é máximo nos pontos em que r=R; o valor do campo nesses pontos pode ser calculado usando qualquer uma das equações anteriores:
B_{\operatorname{máx}}=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R}{2} \frac{d E}{d t} .
Existem dois valores de r para os quais B é igual a 50 \% de B_{\text {máx }}á, um menor que R e outro maior que R.
(a) Para r<R, temos
\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} r}{2} \frac{d E}{d t}=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R}{4} \frac{d E}{d t} \Rightarrow r=R / 2=(55,0 \mathrm{~mm}) / 2=27,5 \mathrm{~mm} .
(b) Para r>R, temos
\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R^{2}}{2 r} \frac{d E}{d t}=\frac{\mu_{0} \varepsilon_{0} R}{4} \frac{d E}{d t} \Rightarrow r=2 R=2(55,0 \mathrm{~mm})=110 \mathrm{~mm} .

Passo 1

O enunciado dá as expressões do módulo do campo magnético em torno de um capacitor em função da distância radial r ao eixo e do raio das placas R:
B=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}\quad(r\le R)
B=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R^{2}}{2r}\,\frac{dE}{dt}\quad(r\ge R)
Também informa que o campo magnético é máximo em r=R e que esse valor máximo é
B_{\text{máx}}=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R}{2}\,\frac{dE}{dt}.á
A pergunta é: encontrar os dois valores de r tais que B=\tfrac{1}{2}B_{\text{máx}}á — um com r<R e outro com r>R. O enunciado fornece o valor numérico do raio das placas: R=55{,}0\\ \text{mm}.

Passo 2

Breve explicação física e por que as expressões têm essas formas (aula curta):
  • A lei de Ampère-Maxwell diz, em forma integral,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}I_{\text{enc}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d\Phi_{E}}{dt}.
  • Aqui, entre as placas do capacitor não há corrente condutora atravessando a superfície, mas há uma variação do fluxo elétrico \Phi_{E} que gera um termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\,d\Phi_{E}/dt (o chamado “corrente de deslocamento”).
  • Para simetria cilíndrica, \mathbf{B} é tangencial a círculos de raio r, então \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r).
  • O fluxo elétrico através de uma superfície circular de raio r é \Phi_{E}=E\cdot(\text{área})á. Se r\le R a área é \pi r^{2}; se r\ge R a área que contém campo é limitada por \pi R^{2}.
  • Substituindo tudo na Ampère-Maxwell aparece a dependência linear em r para r\le R e a dependência 1/r para r\ge R, que são exatamente as fórmulas dadas.

Passo 3

Verificação rápida de onde ocorre o máximo:
  • Para r\le R temos B\propto r (cresce com r);
  • Para r\ge R temos B\propto 1/r (decresce com r);
    logo o máximo acontece na junção r=R, e o valor máximo é
B_{\text{máx}}=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R}{2}\,\frac{dE}{dt},á
conforme dado.

Passo 4

Resolver o caso r<R. Montamos a equação pedida:
B=\tfrac{1}{2}B_{\text{máx}}.á
Usando a expressão para r\le R e a expressão de B_{\text{máx}}á escrevemos
\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R}{2}\,\frac{dE}{dt}\right).
Agora cancelamos os fatores comuns \mu_{0}\varepsilon_{0} e \dfrac{dE}{dt} (assumindo que não são zero) e também o 1/2 dos dois lados, ficando
r=\frac{R}{2}.
Portanto a solução interna é r=\tfrac{R}{2}.

Passo 5

Resolver o caso r>R. Usamos a expressão para r\ge R e igualamos a metade do máximo:
\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R^{2}}{2r}\,\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,R}{2}\,\frac{dE}{dt}\right).
Cancelamos novamente \mu_{0}\varepsilon_{0} e \dfrac{dE}{dt} e o fator 1/2, obtendo
\frac{R^{2}}{r}=\frac{R}{2}.
Resolvendo para r:
r=\frac{R^{2}}{R/2}=2R.
Portanto a solução externa é r=2R.

Passo 6

Substituição numérica usando R=55{,}0\\ \text{mm}. Primeiro converto para metros (opcional, mas claro):
R=55{,}0\\ \text{mm}=0{,}055\\ \text{m}.
Das fórmulas obtidas:
r_{\text{interno}}=\frac{R}{2}=0{,}5\cdot 0{,}055\\ \text{m}=0{,}0275\\ \text{m}=27{,}5\\ \text{mm},
r_{\text{externo}}=2R=2\cdot 0{,}055\\ \text{m}=0{,}110\\ \text{m}=110\\ \text{mm}.
Checagem rápida: 27{,}5\\ \text{mm}<55{,}0\\ \text{mm} e 110\\ \text{mm}>55{,}0\\ \text{mm}, então cada solução está no intervalo correto.

Resposta

r=27{,}5\\ \text{mm}
r=110\\ \text{mm}

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