Seja
o raio das placas do capacitor e seja
a distância entre o ponto considerado e o eixo do capacitor. O módulo do campo magnético é dado pelas Eqs. 32-8 e 32-9:
e
O campo magnético é máximo nos pontos em que
; o valor do campo nesses pontos pode ser calculado usando qualquer uma das equações anteriores:
Existem dois valores de
para os quais
é igual a
de
, um menor que
e outro maior que
.
(a) Para
, temos
(b) Para
, temos
(a) Para
Passo 1
O enunciado dá as expressões do módulo do campo magnético em torno de um capacitor em função da distância radial
ao eixo e do raio das placas
:
Também informa que o campo magnético é máximo em
e que esse valor máximo é
A pergunta é: encontrar os dois valores de
tais que
— um com
e outro com
. O enunciado fornece o valor numérico do raio das placas:
.
Passo 2
Breve explicação física e por que as expressões têm essas formas (aula curta):
- A lei de Ampère-Maxwell diz, em forma integral,
- Aqui, entre as placas do capacitor não há corrente condutora atravessando a superfície, mas há uma variação do fluxo elétrico
que gera um termo (o chamado “corrente de deslocamento”). - Para simetria cilíndrica,
é tangencial a círculos de raio , então . - O fluxo elétrico através de uma superfície circular de raio
é . Se a área é ; se a área que contém campo é limitada por . - Substituindo tudo na Ampère-Maxwell aparece a dependência linear em
para e a dependência para , que são exatamente as fórmulas dadas.
Passo 3
Verificação rápida de onde ocorre o máximo:
- Para
temos (cresce com ); - Para
temos (decresce com );
logo o máximo acontece na junção, e o valor máximo é
conforme dado.
Passo 4
Resolver o caso
. Montamos a equação pedida:
Usando a expressão para
e a expressão de
escrevemos
Agora cancelamos os fatores comuns
e
(assumindo que não são zero) e também o
dos dois lados, ficando
Portanto a solução interna é
.
Passo 5
Resolver o caso
. Usamos a expressão para
e igualamos a metade do máximo:
Cancelamos novamente
e
e o fator
, obtendo
Resolvendo para
:
Portanto a solução externa é
.
Passo 6
Substituição numérica usando
. Primeiro converto para metros (opcional, mas claro):
Das fórmulas obtidas:
Checagem rápida:
e
, então cada solução está no intervalo correto.