Questão 2

Considere um bloco de massa m sujeito a uma força elástica de constante k e deslizando sem atrito sobre uma superficie horizontal.
(a) Mostre que a equação de movimento do sistema pode ser escrita na forma:
c_{1} \frac{d^{2}}{d t^{2}} x(t)+c_{2} x(t)=0
indicando explicitamente os parâmetros físicos que correspondem a c_{1} e c_{2}.
(b) Mostre que x(t)=A \cos \left(\varphi_{0}+\omega t\right) é uma solução da equação de movimento.
(c) Considere que o sistema descrito anteriormente tenha massa m=0,5 \mathrm{~kg} e constante k=200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine o periodo de oscilação T.
(d) Sabendo que a amplitude inicial é A=10 \mathrm{~cm}, determine a energia total do sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados e condições do enunciado:
  • Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal.
  • O bloco está preso a uma mola de constante elástica k.
  • Força da mola obedece à lei de Hooke (restauradora), com sinal oposto ao deslocamento.
  • Valores numéricos fornecidos para as partes (c) e (d):
    • Para (c): m=0{,}5\\ \mathrm{kg} e k=200\\ \mathrm{N/m}.
    • Para (d): amplitude inicial A=10\\ \mathrm{cm} (atenção: será necessário converter para metros).
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a equação de movimento pode ser escrita como
c_{1}\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+c_{2}x(t)=0
e indicar explicitamente quais parâmetros físicos correspondem a c_{1} e c_{2}.
(b) Mostrar que
x(t)=A\cos\!\bigl(\varphi_{0}+\omega t\bigr)
é solução da equação de movimento do item (a).
(c) Com m=0{,}5\\ \mathrm{kg} e k=200\\ \mathrm{N/m}, determinar o período de oscilação T.
(d) Com amplitude inicial A=10\\ \mathrm{cm}, determinar a energia total do sistema.

Passo 2

Derivando a equação de movimento a partir das leis físicas básicas (explicação didática).
  • Força elástica (lei de Hooke): a mola exerce sobre o bloco uma força de módulo k|x| dirigida para a posição de equilíbrio e proporcional a x. Em forma vetorial/algebraica essa força é
F_{\text{mola}}=-k\,x(t),
onde o sinal negativo indica que a força é restauradora (se x>0 a força é negativa, puxando de volta).
  • Segunda lei de Newton: a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
\sum F = m\,a(t).
Aqui só existe a força da mola (sem atrito), logo
m\,\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = -k\,x(t).
  • Reescrevendo em forma padrão:
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) + k\,x(t)=0.
Comparando com a forma pedida
c_{1}\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+c_{2}x(t)=0,
temos a identificação explícita dos parâmetros físicos:
c_{1}=m,\qquad c_{2}=k.
Observações sobre as variáveis (para ficar bem claro):
  • \,x(t)\, é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio, função do tempo.
  • \,\dfrac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)\, é a aceleração do bloco.
  • m é a massa do bloco (em kg) e k é a constante elástica da mola (em N/m).

Passo 3

Verificando que x(t)=A\cos\!\bigl(\varphi_{0}+\omega t\bigr) satisfaz a equação de movimento (passo a passo e explicando o que uso).
  1. Derivadas temporais de x(t). Lembre que:
  • A derivada de \cos é -\sin.
  • A derivada de -\sin é -\cos.
    Aplicando regra da cadeia (quando derivamos \cos(\varphi_{0}+\omega t) multiplicamos por \omega porque \varphi_{0}+\omega t depende de t).
Primeira derivada:
\frac{d}{dt}x(t) = \frac{d}{dt}\bigl[A\cos(\varphi_{0}+\omega t)\bigr] = -A\omega\sin(\varphi_{0}+\omega t).
Segunda derivada:
\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t) = \frac{d}{dt}\bigl[-A\omega\sin(\varphi_{0}+\omega t)\bigr] = -A\omega^{2}\cos(\varphi_{0}+\omega t).
  1. Substituindo na equação de movimento em termos de c_{1} e c_{2}:
c_{1}\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+c_{2}x(t) = c_{1}\bigl(-A\omega^{2}\cos(\varphi_{0}+\omega t)\bigr) + c_{2}\bigl(A\cos(\varphi_{0}+\omega t)\bigr).
  1. Fatorando A\cos(\varphi_{0}+\omega t):
A\cos(\varphi_{0}+\omega t)\bigl(-c_{1}\omega^{2}+c_{2}\bigr).
  1. Para que a expressão seja identicamente zero para todo t (ou seja, para que x(t) seja solução), precisamos que o fator entre parênteses seja zero (porque A e \cos(\varphi_{0}+\omega t) não são identicamente nulos):
-c_{1}\omega^{2}+c_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=\frac{c_{2}}{c_{1}}.
  1. Substituindo c_{1}=m e c_{2}=k (do Passo 2), obtemos a relação conhecida para o oscilador harmônico:
\omega^{2}=\frac{k}{m}\quad\Longrightarrow\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Conclusão do passo: com \omega definido por \omega=\sqrt{k/m}, a função
x(t)=A\cos(\varphi_{0}+\omega t)
satisfaz a equação de movimento. Isso mostra que a forma cossenoidal é uma solução e explica por que \omega deve ser exatamente \sqrt{k/m}.

Passo 4

Determinar o período de oscilação T usando a relação entre período e frequência angular (explicando por que).
  • A frequência angular \omega é medida em radianos por segundo e está ligada ao período T (tempo para uma oscilação completa) pela relação
\omega = \frac{2\pi}{T}\quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2\pi}{\omega}.
Explicação curta: um ciclo completo corresponde a um avanço de 2\pi radianos no argumento do cosseno; como \omega é a velocidade angular, o tempo para completar 2\pi é 2\pi/\omega.
  • Usando \omega=\sqrt{k/m}, temos
T = \frac{2\pi}{\sqrt{k/m}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Agora aplicando os valores numéricos (passo a passo e sem pular contas):
\frac{k}{m}=\frac{200}{0{,}5}=400,
logo
\omega=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{rad/s}.
Então
T=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}\\ \mathrm{s}.
Valor numérico aproximado (usar \pi\approx3{,}14159):
T\approx\frac{3{,}14159}{10}=0{,}314159\\ \mathrm{s}\approx0{,}31416\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar a energia total do sistema quando a amplitude inicial é A=10\\ \mathrm{cm} (explicando a expressão usada).
  • Conversão da amplitude para unidades SI:
A=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Energia mecânica total do oscilador harmônico simples (sem atrito) é constante e dada por:
E = \frac{1}{2}kA^{2}.
Breve justificativa: energia potencial elástica armazenada na mola é U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2}. No instante de máxima elongação x=\pm A a velocidade é zero, então toda energia é potencial e vale U(A)=\tfrac{1}{2}kA^{2}; como a energia total é conservada, esse valor corresponde à energia total do sistema.
  • Substituindo os valores:
E=\frac{1}{2}\cdot 200\cdot(0{,}10)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0{,}10)^{2}=0{,}01,
\frac{1}{2}\cdot 200 =100,
E=100\cdot 0{,}01=1\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia total do sistema é 1\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) c_{1}=m,\; c_{2}=k (equação: m\frac{d^{2}}{dt^{2}}x(t)+kx(t)=0).
(b) Sim — x(t)=A\cos(\varphi_{0}+\omega t) é solução desde que \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
(c) T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}=\dfrac{\pi}{10}\\ \mathrm{s}\approx0{,}31416\\ \mathrm{s}.
(d) E=\dfrac{1}{2}kA^{2}=1\\ \mathrm{J}.

Exercícios relacionados