Questão 2
Considere um bloco de massa
sujeito a uma força elástica de constante
e deslizando sem atrito sobre uma superficie horizontal.
(a) Mostre que a equação de movimento do sistema pode ser escrita na forma:
indicando explicitamente os parâmetros físicos que correspondem a
e
.
(b) Mostre que
é uma solução da equação de movimento.
(c) Considere que o sistema descrito anteriormente tenha massa
e constante
. Determine o periodo de oscilação
.
(d) Sabendo que a amplitude inicial é
, determine a energia total do sistema.
(a) Mostre que a equação de movimento do sistema pode ser escrita na forma:
(b) Mostre que
(c) Considere que o sistema descrito anteriormente tenha massa
(d) Sabendo que a amplitude inicial é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados e condições do enunciado:
- Um bloco de massa
desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. - O bloco está preso a uma mola de constante elástica
. - Força da mola obedece à lei de Hooke (restauradora), com sinal oposto ao deslocamento.
- Valores numéricos fornecidos para as partes (c) e (d):
- Para (c):
e . - Para (d): amplitude inicial
(atenção: será necessário converter para metros).
- Para (c):
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a equação de movimento pode ser escrita como
(a) Mostrar que a equação de movimento pode ser escrita como
e indicar explicitamente quais parâmetros físicos correspondem a
e
.
(b) Mostrar que
é solução da equação de movimento do item (a).
(c) Com
e
, determinar o período de oscilação
.
(d) Com amplitude inicial
, determinar a energia total do sistema.
Passo 2
Derivando a equação de movimento a partir das leis físicas básicas (explicação didática).
- Força elástica (lei de Hooke): a mola exerce sobre o bloco uma força de módulo
dirigida para a posição de equilíbrio e proporcional a . Em forma vetorial/algebraica essa força é
onde o sinal negativo indica que a força é restauradora (se
a força é negativa, puxando de volta).
- Segunda lei de Newton: a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui só existe a força da mola (sem atrito), logo
- Reescrevendo em forma padrão:
Comparando com a forma pedida
temos a identificação explícita dos parâmetros físicos:
Observações sobre as variáveis (para ficar bem claro):
-
é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio, função do tempo. -
é a aceleração do bloco. -
é a massa do bloco (em kg) e é a constante elástica da mola (em N/m).
Passo 3
Verificando que
satisfaz a equação de movimento (passo a passo e explicando o que uso).
- Derivadas temporais de
. Lembre que:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Aplicando regra da cadeia (quando derivamosmultiplicamos por porque depende de ).
Primeira derivada:
Segunda derivada:
- Substituindo na equação de movimento em termos de
e :
- Fatorando
:
- Para que a expressão seja identicamente zero para todo
(ou seja, para que seja solução), precisamos que o fator entre parênteses seja zero (porque e não são identicamente nulos):
- Substituindo
e (do Passo 2), obtemos a relação conhecida para o oscilador harmônico:
Conclusão do passo: com
definido por
, a função
satisfaz a equação de movimento. Isso mostra que a forma cossenoidal é uma solução e explica por que
deve ser exatamente
.
Passo 4
Determinar o período de oscilação
usando a relação entre período e frequência angular (explicando por que).
- A frequência angular
é medida em radianos por segundo e está ligada ao período (tempo para uma oscilação completa) pela relação
Explicação curta: um ciclo completo corresponde a um avanço de
radianos no argumento do cosseno; como
é a velocidade angular, o tempo para completar
é
.
- Usando
, temos
Agora aplicando os valores numéricos (passo a passo e sem pular contas):
logo
Então
Valor numérico aproximado (usar
):
Passo 5
Determinar a energia total do sistema quando a amplitude inicial é
(explicando a expressão usada).
- Conversão da amplitude para unidades SI:
- Energia mecânica total do oscilador harmônico simples (sem atrito) é constante e dada por:
Breve justificativa: energia potencial elástica armazenada na mola é
. No instante de máxima elongação
a velocidade é zero, então toda energia é potencial e vale
; como a energia total é conservada, esse valor corresponde à energia total do sistema.
- Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Portanto a energia total do sistema é
.
Resposta
(a)
(equação:
).
(b) Sim — é solução desde que
.
(c) .
(d) .
(b) Sim —
(c)
(d)