Um campo elétrico não uniforme dado por \vec{E}=3,0 x \vec{\imath}+4,0 \vec{\jmath} atravessa um cubo cuja uma das arestas está sobre a linha \mathrm{x}=1,0 \mathrm{~m}, a outra sobre \mathrm{x}=2,0 e uma terceita sobre \mathrm{y}=0. Qual é o fluxo do campo elétrico na face direita, na face esquerda e na face superior do cubo?

Passo 1

Resumindo, temos um campo elétrico não uniforme \vec{E}=3,0\,x\,\vec{\imath}+4,0\,\vec{\jmath}
e um cubo de aresta a=1,0\\ \mathrm{m} que se estende de
x=1,0\\ \mathrm{m}\quad\text{até}\quad x=2,0\\ \mathrm{m},\quad y=0\quad\text{até}\quad y=1,0\\ \mathrm{m},éé
e em z por um intervalo de comprimento 1,0\\ \mathrm{m} (a posição em z não afeta as faces em x e y).
Vamos calcular o fluxo elétrico
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}
para as três faces pedidas.

Passo 2

Face direita x=2,0\\ \mathrm{m}: o vetor normal apontando para fora é \hat{n}=\vec{\imath}.
Em x=2,0 o campo tem componente
E_x=3,0\;x\bigl|_{x=2,0}=3,0\times2,0=6,0\quad\bigl(\mathrm{N/C}\bigr).
A área dessa face é
A=a\times a=1,0\times1,0=1,0\\ \mathrm{m^2}.
Como E_x é constante sobre a face,
\Phi_{\text{dir}}=\iint \vec{E}\cdot d\vec{A} =\iint E_x\,dA =6,0\cdot1,0 =6,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}.

Passo 3

Face esquerda x=1,0\\ \mathrm{m}: agora o normal externo é \hat{n}=-\vec{\imath}.
Em x=1,0 temos
E_x=3,0\times1,0=3,0\quad(\mathrm{N/C}),
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\Phi_{\text{esq}} =\iint \vec{E}\cdot d\vec{A} =\iint E_x\,(-1)\,dA =-3,0\cdot1,0 =-3,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}.

Passo 4

Face superior y=1,0\\ \mathrm{m}: o normal externo é \hat{n}=\vec{\jmath}.
A componente y do campo é constante
E_y=4,0\quad(\mathrm{N/C})
em toda a face. A área é 1,0\times1,0=1,0\\ \mathrm{m^2}, então
\Phi_{\text{sup}} =\iint \vec{E}\cdot d\vec{A} =\iint E_y\,dA =4,0\cdot1,0 =4,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}.

Resposta

Face direita: 6,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}
Face esquerda: -3,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}
Face superior: 4,0\\ \mathrm{N\,m^2/C}

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