Um campo elétrico é dado por \vec{E}=+(200 N / C) \hat{k} ao longo da região z>0 e por \vec{E}=-(200 N / C) \hat{k} ao longo da região \mathrm{z}<0. Uma superfície imaginária com formato de uma lata, com comprimento igual a 20 cm e um raio \mathrm{R}=5,00 \mathrm{~cm}, tem o seu centro na origem e seu eixo ao longo do eixo z. Qual o fluxo resultante para fora através da superfície fechada.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico uniforme que aponta em \hat k com intensidade 200\:\text{N/C} para z>0 e no sentido oposto para z<0. A superfície é um cilindro fechado de eixo no z, raio R=5{,}00\:\text{cm} e comprimento 20\:\text{cm}, centrado na origem. Vamos calcular o fluxo elétrico total \displaystyle \Phi=\oiint \vec E\cdot d\vec A
usando o fato de que só as tampas (caps) contribuem.

Passo 2

No revestimento lateral do cilindro o vetor normal d\vec A é radial e o campo está ao longo de \hat k, logo
\vec E\cdot d\vec A=0
para a superfície curva. Portanto o fluxo total é a soma dos fluxos através da tampa superior (em z=+0,10\:\text{m}) e da tampa inferior (em z=-0,10\:\text{m}). A área de cada tampa vale
A=\pi R^2=\pi\,(0,05\,\text{m})^2=0,0025\pi\:\text{m}^2.

Passo 3

Tampa superior z>0: o campo é \vec E=+200\,\hat k e a normal externa é +\hat k, então
\Phi_{\rm sup}=\int \vec E\cdot d\vec A =E\,A=200\cdot(0,0025\pi)=0,5\pi\:\text{N\cdotm}^2\!/C.

Passo 4

Tampa inferior z<0: o campo é \vec E=-200\,\hat k e a normal externa é -\hat k, logo
\vec E\cdot d\vec A = (-200\,\hat k)\cdot(-\hat k)=200
e
\Phi_{\rm inf} =200\cdot(0,0025\pi)=0,5\pi\:\text{N\cdotm}^2\!/C.

Passo 5

Somando as duas contribuições, o fluxo resultante é
\Phi_{\rm total} =\Phi_{\rm sup}+\Phi_{\rm inf} =0,5\pi+0,5\pi=\pi\:\text{N\cdotm}^2\!/C.

Resposta

\displaystyle \Phi_{\rm total}=\pi\:\text{N\cdotm}^2\!/C

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