O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado por:
Determine:
(a) A direção de propagação da onda
(b) O número de onda
e o comprimento de onda
(c) A frequência angular
e a frequência
(d) A amplitude do campo magnético e sua direção
(a) A direção de propagação da onda
(b) O número de onda
(c) A frequência angular
(d) A amplitude do campo magnético e sua direção
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
- O campo elétrico é
- Desta expressão segue que:
- amplitude do campo elétrico:
, - número de onda (no enunciado aparece como coeficiente de
): , - frequência angular (coeficiente de
): , - direção do campo elétrico:
(eixo ).
- amplitude do campo elétrico:
O enunciado pede:
(a) a direção de propagação da onda;
(b) o número de onda e o comprimento de onda
;
(c) a frequência angular e a frequência
;
(d) a amplitude do campo magnético e sua direção.
(a) a direção de propagação da onda;
(b) o número de onda
(c) a frequência angular
(d) a amplitude do campo magnético e sua direção.
Passo 2
Interpretação da forma geral de uma onda plana e determinação da direção de propagação.
A forma geral de uma onda plana progressiva unidimensional é
quando a fase é
. Essa forma indica que a onda se propaga no sentido positivo do eixo
. Explicando com palavras: se a fase é
, então superfícies de fase constante movem-se para valores maiores de
quando
aumenta, ou seja, propagação para +
.
Aplicando ao nosso caso: a fase é
, portanto a onda se propaga na direção +
.
Passo 3
Determinar
(já aparece no enunciado) e calcular o comprimento de onda
usando a relação básica entre
e
.
Fórmula: para uma onda plana em uma dimensão vale
onde
é o número de onda (unidade
) e
é o comprimento de onda (unidade
). Aqui:
Isolando
:
Substituindo:
Calculemos numericamente (mostrando os passos):
. Assim
Arredondando de forma razoável:
Comentário físico rápido: esse comprimento de onda está na faixa do infravermelho próximo / limite do visível.
Passo 4
Determinar a frequência angular
(já aparece no enunciado) e a frequência
.
A relação entre frequência angular e frequência é
onde
tem unidade
e
tem unidade
. Assim
Do enunciado:
Portanto
Calculando:
Arredondando:
Verificação rápida (consistência com
e velocidade da luz): em vácuo a velocidade da onda é
e deve valer
. Checando com os valores obtidos:
logo está consistente.
Passo 5
Encontrar a amplitude do campo magnético
e a direção de
. Relação entre campos elétrico e magnético em onda eletromagnética no vácuo.
Para uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo há duas relações importantes:
- as amplitudes estão ligadas por
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é a amplitude do campo magnético (unidade tesla,
). Explicando: esse resultado vem das equações de Maxwell para uma onda plana em vácuo e diz que as magnitudes dos campos são proporcionais por
.
- as direções dos vetores satisfazem a regra da mão direita:
onde
é o sentido de propagação (direção do vetor onda),
é a direção do campo elétrico, e
é a direção do campo magnético. Ou seja,
,
e
formam um triângulo ortogonal (baseado no produto vetorial).
No nosso problema:
-
(direção de propagação) é + (veja Passo 2), ou seja . -
(dado).
Então precisamos achartal que .
Sabendo produtos vetoriais das base canônicas:
Portanto
(direção +
). Em palavras: como
, o campo magnético aponta para +
.
Agora a amplitude
:
Tomando
e
,
Arredondando razoavelmente:
Finalmente, a expressão vetorial do campo magnético é, em forma análoga ao elétrico,
com
e direção conforme calculados.
Passo 6
Resumo/checagem rápida (motivacional): todos os passos usam relações muito usadas em provas e exercícios:
- identificar a forma da fase para saber o sentido de propagação (
→ + ); - usar
para ; - usar
para ; - usar
e para o campo magnético.
Se ficou confuso em algum cálculo numérico, refaça com calma: dividir por
e por
são operações diretas que dá para fazer com lápis e conta de cabeça aproximada na prova.
Resposta
(a) A onda propaga-se na direção
.
(b) e
.
(c) e
.
(d) . A direção de
é
(isto é, +
), e
(b)
(c)
(d)