O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado por:
\vec{E}=\left(8,0 \times 10^{2}\right) \cos \left[\left(6,0 \times 10^{6}\right) x-\left(1,8 \times 10^{15}\right) t\right] \hat{j} \mathrm{~V} / \mathrm{m}
Determine:
(a) A direção de propagação da onda
(b) O número de onda \kappa e o comprimento de onda \lambda
(c) A frequência angular \omega e a frequência f
(d) A amplitude do campo magnético e sua direção

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • O campo elétrico é
\vec{E}=\left(8,0\times10^{2}\right)\cos\!\left[\left(6,0\times10^{6}\right)x-\left(1,8\times10^{15}\right)t\right]\hat{j}\\ \mathrm{V/m}.
  • Desta expressão segue que:
    • amplitude do campo elétrico: \,E_0=8,0\times10^{2}\\ \mathrm{V/m},
    • número de onda (no enunciado aparece como coeficiente de x): \,\kappa=6,0\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}},
    • frequência angular (coeficiente de t): \,\omega=1,8\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s},
    • direção do campo elétrico: \hat{j} (eixo y).
O enunciado pede:
(a) a direção de propagação da onda;
(b) o número de onda \kappa e o comprimento de onda \lambda;
(c) a frequência angular \omega e a frequência f;
(d) a amplitude do campo magnético e sua direção.

Passo 2

Interpretação da forma geral de uma onda plana e determinação da direção de propagação.
A forma geral de uma onda plana progressiva unidimensional é
\cos(\kappa x-\omega t)
quando a fase é \kappa x-\omega t. Essa forma indica que a onda se propaga no sentido positivo do eixo x. Explicando com palavras: se a fase é \kappa x-\omega t, então superfícies de fase constante movem-se para valores maiores de x quando t aumenta, ou seja, propagação para + x.
Aplicando ao nosso caso: a fase é \left(6,0\times10^{6}\right)x-\left(1,8\times10^{15}\right)t, portanto a onda se propaga na direção + x.

Passo 3

Determinar \kappa (já aparece no enunciado) e calcular o comprimento de onda \lambda usando a relação básica entre \kappa e \lambda.
Fórmula: para uma onda plana em uma dimensão vale
\kappa=\frac{2\pi}{\lambda},
onde \kappa é o número de onda (unidade \mathrm{m^{-1}}) e \lambda é o comprimento de onda (unidade \mathrm{m}). Aqui:
\kappa=6,0\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{\kappa}.
Substituindo:
\lambda=\frac{2\pi}{6,0\times10^{6}}.
Calculemos numericamente (mostrando os passos): 2\pi\approx6,283185. Assim
\lambda\approx\frac{6,283185}{6,0\times10^{6}}=1,0471975\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável:
\lambda\approx1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }1{,}05\\ \mu\mathrm{m}).
Comentário físico rápido: esse comprimento de onda está na faixa do infravermelho próximo / limite do visível.

Passo 4

Determinar a frequência angular \omega (já aparece no enunciado) e a frequência f.
A relação entre frequência angular e frequência é
\omega=2\pi f,
onde \omega tem unidade \mathrm{rad/s} e f tem unidade \mathrm{Hz}. Assim
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Do enunciado:
\omega=1,8\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
Portanto
f=\frac{1,8\times10^{15}}{2\pi}.
Calculando:
f\approx\frac{1,8\times10^{15}}{6,283185}=2,864788\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
f\approx2,86\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Verificação rápida (consistência com \lambda e velocidade da luz): em vácuo a velocidade da onda é c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e deve valer \lambda f=c. Checando com os valores obtidos:
\lambda f\approx(1,047\times10^{-6})(2,865\times10^{14})\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
logo está consistente.

Passo 5

Encontrar a amplitude do campo magnético B_0 e a direção de \vec{B}. Relação entre campos elétrico e magnético em onda eletromagnética no vácuo.
Para uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo há duas relações importantes:
  1. as amplitudes estão ligadas por
E_0=c\,B_0,
onde c é a velocidade da luz no vácuo e B_0 é a amplitude do campo magnético (unidade tesla, \mathrm{T}). Explicando: esse resultado vem das equações de Maxwell para uma onda plana em vácuo e diz que as magnitudes dos campos são proporcionais por c.
  1. as direções dos vetores satisfazem a regra da mão direita:
\hat{n}=\hat{E}\times\hat{B},
onde \hat{n} é o sentido de propagação (direção do vetor onda), \hat{E} é a direção do campo elétrico, e \hat{B} é a direção do campo magnético. Ou seja, \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} formam um triângulo ortogonal (baseado no produto vetorial).
No nosso problema:
  • \hat{n} (direção de propagação) é + x (veja Passo 2), ou seja \hat{n}=\hat{i}.
  • \hat{E}=\hat{j} (dado).
    Então precisamos achar \hat{B} tal que \hat{i}=\hat{j}\times\hat{B}.
Sabendo produtos vetoriais das base canônicas:
\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}.
Portanto \hat{B}=\hat{k} (direção + z). Em palavras: como \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}, o campo magnético aponta para + z.
Agora a amplitude B_0:
B_0=\frac{E_0}{c}.
Tomando c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e E_0=8,0\times10^{2}\\ \mathrm{V/m},
B_0=\frac{8,0\times10^{2}}{3,0\times10^{8}}=2,666\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente:
B_0\approx2,67\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
Finalmente, a expressão vetorial do campo magnético é, em forma análoga ao elétrico,
\vec{B}=B_0\cos\!\left(\kappa x-\omega t\right)\,\hat{k},
com B_0 e direção conforme calculados.

Passo 6

Resumo/checagem rápida (motivacional): todos os passos usam relações muito usadas em provas e exercícios:
  • identificar a forma da fase para saber o sentido de propagação ( \kappa x-\omega t → + x);
  • usar \kappa=2\pi/\lambda para \lambda;
  • usar \omega=2\pi f para f;
  • usar E_0=cB_0 e \hat{n}=\hat{E}\times\hat{B} para o campo magnético.
Se ficou confuso em algum cálculo numérico, refaça com calma: dividir por 2\pi e por c são operações diretas que dá para fazer com lápis e conta de cabeça aproximada na prova.

Resposta

(a) A onda propaga-se na direção +x.
(b) \kappa=6,0\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}} e \lambda\approx1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
(c) \omega=1,8\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s} e f\approx2,86\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(d) B_0\approx2,67\times10^{-6}\\ \mathrm{T}. A direção de \vec{B} é \hat{k} (isto é, + z), e
\vec{B}= \left(2,67\times10^{-6}\right)\cos\!\left[\left(6,0\times10^{6}\right)x-\left(1,8\times10^{15}\right)t\right]\hat{k}\\ \mathrm{T}.

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