Uma onda eletromagnética tem campo magnético dado por:
(a) Determine a direção de propagação da onda
(b) Calcule a velocidade de propagação
(c) Escreva a expressão para
(b) Calcule a velocidade de propagação
(c) Escreva a expressão para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Campo magnético fornecido:
- Dados extraídos:
- amplitude do campo magnético:
; - número de onda:
; - pulsação (frequência angular):
; - a dependência espacial é em
e o vetor unitário é (ou seja, aponta na direção ).
- amplitude do campo magnético:
- O enunciado pede:
(a) determinar a direção de propagação da onda;
(b) calcular a velocidade de propagação;
(c) escrever a expressão para.
Passo 2
Determinar a direção de propagação a partir da fase da onda (ideia chave, passo a passo).
- Para ondas planares, a fase é a combinação que aparece dentro do seno: aqui é
. - Uma fase constante corresponde a um ponto de mesma fase movendo-se no espaço; impondo a fase constante:
- Isolando
:
- A velocidade de propagação do ponto de fase constante é
. O sinal negativo mostra que à medida que aumenta, diminui. - Conclusão: a onda se propaga no sentido negativo do eixo
, ou seja, na direção .
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação (fórmula e cálculo).
- Fórmula que relaciona pulsação, número de onda e velocidade de fase:
Explicação: para uma onda com fase do tipo
tem-se
; aqui usamos o valor absoluto porque estamos interessados na velocidade (módulo), já que o sinal ficou na direção no passo anterior.
- Substituindo os valores que pegamos do enunciado:
- Calculando:
- Interpretação didática curta: esse valor é justamente a velocidade da luz no vácuo, portanto a onda é eletromagnética que se propaga no vácuo (ou num meio onde
).
Passo 4
Relação entre
,
e a direção de propagação — como determinar
(conceito e aplicação).
- Regras físicas (explicadas sem muita fórmula obscura):
-
é perpendicular a . - A direção de propagação é a direção de
(vetor de Poynting). Logo aponta na direção de propagação. - Em módulo, para uma onda eletromagnética plana no vácuo (ou quando
), vale (magnitude dos campos relacionados pela velocidade de propagação).
-
- Aplicando ao nosso caso:
- Temos
na direção (pois o vetor é multiplicado por ). - Determinamos no Passo 2 que a propagação é em
. - Queremos um
tal que aponte para .
- Temos
- Verificação de direção por álgebra simples com vetores unitários:
- Teste: escolha
na direção . Então
porque e permutar troca o sinal. - Assim
na direção dá na direção , que coincide com a direção de propagação encontrada. - Portanto
deve estar ao longo de .
- Teste: escolha
- Agora magnitude de
: Substituindo e :
Passo 5
Montar a expressão final para
e checagens rápidas.
- A forma temporal e espacial do campo deve acompanhar a mesma fase do
, ou seja, o argumento do seno é o mesmo. Como decidimos que aponta em e tem amplitude , escrevemos:
- Checagem rápida (consistência):
-
é perpendicular a (uma está em , outra em ). -
aponta para , consistente com a direção de propagação. - A relação de módulo
(aqui ) foi satisfeita.
-
Resposta
(a) A onda se propaga na direção
.
(b)
(c)