Uma onda eletromagnética tem campo magnético dado por:
\vec{B}=\left(5,0 \times 10^{-8}\right) \sin \left[\left(2,0 \times 10^{7}\right) z+\left(6,0 \times 10^{15}\right) t\right] \hat{i} \mathrm{~T}
(a) Determine a direção de propagação da onda
(b) Calcule a velocidade de propagação
(c) Escreva a expressão para \vec{E}(z, t)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Campo magnético fornecido:
\vec{B}(z,t)=\left(5,0\times10^{-8}\right)\sin\!\left[\left(2,0\times10^{7}\right)z+\left(6,0\times10^{15}\right)t\right]\hat{i}\\ \mathrm{T}.
  • Dados extraídos:
    • amplitude do campo magnético: \;B_0=5,0\times10^{-8}\\ \mathrm{T};
    • número de onda: \;k=2,0\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}};
    • pulsação (frequência angular): \;\omega=6,0\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}};
    • a dependência espacial é em z e o vetor unitário é \hat{i} (ou seja, \vec{B} aponta na direção x).
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a direção de propagação da onda;
    (b) calcular a velocidade de propagação;
    (c) escrever a expressão para \vec{E}(z,t).

Passo 2

Determinar a direção de propagação a partir da fase da onda (ideia chave, passo a passo).
  • Para ondas planares, a fase é a combinação que aparece dentro do seno: aqui é \left(2,0\times10^{7}\right)z+\left(6,0\times10^{15}\right)t.
  • Uma fase constante corresponde a um ponto de mesma fase movendo-se no espaço; impondo a fase constante:
\left(2,0\times10^{7}\right)z+\left(6,0\times10^{15}\right)t=\text{constante}.
  • Isolando z:
z=-\frac{6,0\times10^{15}}{2,0\times10^{7}}\,t+\text{constante}.
  • A velocidade de propagação do ponto de fase constante é v_z=-\dfrac{\omega}{k}. O sinal negativo mostra que à medida que t aumenta, z diminui.
  • Conclusão: a onda se propaga no sentido negativo do eixo z, ou seja, na direção -\hat{z}.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação (fórmula e cálculo).
  • Fórmula que relaciona pulsação, número de onda e velocidade de fase:
v=\frac{\omega}{|k|}.
Explicação: para uma onda com fase do tipo kz-\omega t tem-se v=\omega/k; aqui usamos o valor absoluto porque estamos interessados na velocidade (módulo), já que o sinal ficou na direção no passo anterior.
  • Substituindo os valores que pegamos do enunciado:
v=\frac{6,0\times10^{15}}{2,0\times10^{7}}.
  • Calculando:
v=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação didática curta: esse valor é justamente a velocidade da luz no vácuo, portanto a onda é eletromagnética que se propaga no vácuo (ou num meio onde v\approx c).

Passo 4

Relação entre \vec{E}, \vec{B} e a direção de propagação — como determinar \vec{E} (conceito e aplicação).
  • Regras físicas (explicadas sem muita fórmula obscura):
    1. \vec{E} é perpendicular a \vec{B}.
    2. A direção de propagação é a direção de \vec{S}=\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B} (vetor de Poynting). Logo \vec{E}\times\vec{B} aponta na direção de propagação.
    3. Em módulo, para uma onda eletromagnética plana no vácuo (ou quando v=c), vale E_0 = c\,B_0 (magnitude dos campos relacionados pela velocidade de propagação).
  • Aplicando ao nosso caso:
    • Temos \vec{B} na direção +\hat{x} (pois o vetor é multiplicado por \hat{i}).
    • Determinamos no Passo 2 que a propagação é em -\hat{z}.
    • Queremos um \vec{E} tal que \vec{E}\times\vec{B} aponte para -\hat{z}.
  • Verificação de direção por álgebra simples com vetores unitários:
    • Teste: escolha \vec{E} na direção +\hat{y}. Então
    \hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z},porque \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e permutar troca o sinal.
    • Assim \vec{E} na direção +\hat{y} \vec{E}\times\vec{B} na direção -\hat{z}, que coincide com a direção de propagação encontrada.
    • Portanto \vec{E} deve estar ao longo de +\hat{y}.
  • Agora magnitude de \vec{E}: E_0 = v\,B_0.Substituindo v=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e B_0=5,0\times10^{-8}\\ \mathrm{T}: E_0=(3,0\times10^{8})(5,0\times10^{-8})=15\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Montar a expressão final para \vec{E}(z,t) e checagens rápidas.
  • A forma temporal e espacial do campo deve acompanhar a mesma fase do \vec{B}, ou seja, o argumento do seno é o mesmo. Como decidimos que \vec{E} aponta em +\hat{y} e tem amplitude E_0=15\\ \mathrm{V/m}, escrevemos:
\vec{E}(z,t)=15\sin\!\left[\left(2,0\times10^{7}\right)z+\left(6,0\times10^{15}\right)t\right]\hat{j}\\ \mathrm{V/m}.
  • Checagem rápida (consistência):
    • \vec{E} é perpendicular a \vec{B} (uma está em \hat{y}, outra em \hat{x}).
    • \vec{E}\times\vec{B}=15\cdot(5,0\times10^{-8})\sin^2(\dots)(\hat{y}\times\hat{x}) aponta para -\hat{z}, consistente com a direção de propagação.
    • A relação de módulo E_0=cB_0 (aqui c\approx3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) foi satisfeita.

Resposta

(a) A onda se propaga na direção -\hat{z}.
(b) v=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
(c) \displaystyle \vec{E}(z,t)=15\sin\!\left[\left(2,0\times10^{7}\right)z+\left(6,0\times10^{15}\right)t\right]\hat{j}\\ \mathrm{V/m}.

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