Considere uma região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme vec{E}=E_{0} \hat{k} que varia no tempo segundo E_{0}(t)=E_{\text {max }} \sin (\omega t). Usando a Lei de Faraday, determine:
O campo magnético induzido

Passo 1

O enunciado nos dá e nos pede o seguinte:
  • Campo elétrico uniforme no espaço apontando na direção \hat{k}: \vec{E}(\vec r,t)=E_{0}(t)\,\hat{k}.
  • A dependência temporal é E_{0}(t)=E_{\max}\sin(\omega t).
  • A pergunta: usando a Lei de Faraday, determine o campo magnético induzido \vec B(\vec r,t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo elétrico é espacialmente uniforme (não depende de \vec r), depende apenas do tempo.
  • O campo elétrico tem direção fixa ( \hat{k}).
  • Não foi dada nenhuma condição inicial para \vec B nem bordas do problema.

Passo 2

Lembrando a Lei de Faraday em forma diferencial (a forma que vamos usar):
\nabla\times \vec{E}(\vec r,t) = -\frac{\partial \vec{B}(\vec r,t)}{\partial t}.
Explicando isso de forma didática:
  • \nabla\times \vec{E} (o “rotacional” ou “curl” de \vec E) é uma medida de quanto \vec E tende a girar em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas,
\nabla\times\vec{E} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\hat{i} +\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)\hat{j} +\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)\hat{k}.
  • A Lei de Faraday diz que esse curl do campo elétrico é igual a menos a taxa de variação temporal do campo magnético. Ou seja, variação temporal de \vec B aparece como fonte do “giro” de \vec E.
Vou aplicar essa lei ao caso dado.

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec E para \vec{E}(\vec r,t)=E_{0}(t)\,\hat{k}.
Como \vec E tem apenas componente z que depende só do tempo e não das coordenadas espaciais, temos:
E_x(\vec r,t)=0,\qquad E_y(\vec r,t)=0,\qquad E_z(\vec r,t)=E_{0}(t).
Agora calcular cada componente do rotacional usando a fórmula apresentada:
Componente \hat{i}:
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{\partial E_{0}(t)}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z} = 0-0=0,
pois E_{0}(t) não depende de y.
Componente \hat{j}:
\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} = \frac{\partial 0}{\partial z}-\frac{\partial E_{0}(t)}{\partial x} = 0-0=0,
pois E_{0}(t) não depende de x.
Componente \hat{k}:
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} = \frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial 0}{\partial y} = 0-0=0.
Portanto
\nabla\times\vec{E}(\vec r,t)=\vec{0}.

Passo 4

Aplicar a Lei de Faraday:
\nabla\times \vec{E}(\vec r,t) = -\frac{\partial \vec{B}(\vec r,t)}{\partial t}.
Como o lado esquerdo é \vec 0, obtemos
\vec{0} = -\frac{\partial \vec{B}(\vec r,t)}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \vec{B}(\vec r,t)}{\partial t} = \vec{0}.
Isto significa, matematicamente, que \vec B é independente do tempo:
\vec{B}(\vec r,t)=\vec{B}(\vec r,t_0)
para qualquer instante de referência t_0. Em palavras: a Lei de Faraday, aplicada aqui, nos diz que a variação temporal de \vec B é nula.

Passo 5

Interpretação física e necessidade de condições adicionais:
  • A informação \partial\vec B/\partial t=\vec 0 não determina a dependência espacial de \vec B(\vec r); diz apenas que \vec B não muda no tempo. Para conhecer a forma espacial e o valor absoluto de \vec B é necessário ter condições iniciais (por exemplo, \vec B(\vec r,t_0)) ou outras equações de Maxwell que relacionem \vec B a correntes e à variação de \vec E.
  • Se for dada a condição inicial de ausência de campo magnético, isto é \vec B(\vec r,t_0)=\vec 0, então a solução que satisfaz Faraday é simplesmente
\vec B(\vec r,t)=\vec 0\quad\text{(para todo \(t\))}.

Passo 6

Comentário importante sobre completude do modelo (para não te deixar perdido na prova):
  • A conclusão acima vem estritamente de Faraday. No entanto, campos elétricos que variam no tempo costumam produzir campos magnéticos através da equação de Ampère-Maxwell:
\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}.
  • Assim, se houver regiões onde \partial\vec E/\partial t\neq \vec 0 e não há condutores (ou mesmo com condutores), a parte \mu_0\epsilon_0\partial\vec E/\partial t (corrente de deslocamento) cria um rotacional de \vec B, e portanto \vec B pode ser espacialmente não nulo mesmo sendo independente do tempo (ou em alguns arranjos físicos variar no tempo dependendo das fontes).
  • Exemplo prático: entre as placas de um capacitor com campo E_0(t)\hat k aproximadamente uniforme, a solução obtida por Ampère-Maxwell (usando simetria cilíndrica e a forma integral da lei de Ampère-Maxwell) dá um campo magnético azimutal
\vec B(r,t)=B_\varphi(r,t)\,\hat{\varphi}, \qquad B_\varphi(r,t)=\frac{\mu_0\epsilon_0\,r}{2}\,\frac{dE_0(t)}{dt}.
Substituindo E_0(t)=E_{\max}\sin(\omega t) obtemos
B_\varphi(r,t)=\frac{\mu_0\epsilon_0\,r}{2}\,E_{\max}\omega\cos(\omega t),
válido dentro da região onde o modelo (simetria cilíndrica e fluxo elétrico \Phi_E=\pi r^2 E_0) se aplica. Ou seja: Faraday isoladamente dá \partial\vec B/\partial t=0, mas para achar \vec B(\vec r) concreto muitas vezes é preciso usar Ampère-Maxwell e condições de contorno físicas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \vec B(\vec r,t)}{\partial t}=\vec 0, ou seja \vec B(\vec r,t)=\vec B(\vec r,t_0) (independente do tempo). Se a condição inicial for \vec B(\vec r,t_0)=\vec 0, então \vec B(\vec r,t)=\vec 0.

Exercícios relacionados