Considere uma região do espaço onde existe um campo elétrico uniforme
que varia no tempo segundo
. Usando a Lei de Faraday, determine:
O campo magnético induzido
O campo magnético induzido
Passo 1
O enunciado nos dá e nos pede o seguinte:
- Campo elétrico uniforme no espaço apontando na direção
: . - A dependência temporal é
. - A pergunta: usando a Lei de Faraday, determine o campo magnético induzido
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O campo elétrico é espacialmente uniforme (não depende de
), depende apenas do tempo. - O campo elétrico tem direção fixa (
). - Não foi dada nenhuma condição inicial para
nem bordas do problema.
Passo 2
Lembrando a Lei de Faraday em forma diferencial (a forma que vamos usar):
Explicando isso de forma didática:
-
(o “rotacional” ou “curl” de ) é uma medida de quanto tende a girar em torno de um ponto. Em coordenadas cartesianas,
- A Lei de Faraday diz que esse curl do campo elétrico é igual a menos a taxa de variação temporal do campo magnético. Ou seja, variação temporal de
aparece como fonte do “giro” de .
Vou aplicar essa lei ao caso dado.
Passo 3
Calcular o rotacional de
para
.
Como
tem apenas componente
que depende só do tempo e não das coordenadas espaciais, temos:
Agora calcular cada componente do rotacional usando a fórmula apresentada:
Componente
:
pois
não depende de
.
Componente
:
pois
não depende de
.
Componente
:
Portanto
Passo 4
Aplicar a Lei de Faraday:
Como o lado esquerdo é
, obtemos
Isto significa, matematicamente, que
é independente do tempo:
para qualquer instante de referência
. Em palavras: a Lei de Faraday, aplicada aqui, nos diz que a variação temporal de
é nula.
Passo 5
Interpretação física e necessidade de condições adicionais:
- A informação
não determina a dependência espacial de ; diz apenas que não muda no tempo. Para conhecer a forma espacial e o valor absoluto de é necessário ter condições iniciais (por exemplo, ) ou outras equações de Maxwell que relacionem a correntes e à variação de . - Se for dada a condição inicial de ausência de campo magnético, isto é
, então a solução que satisfaz Faraday é simplesmente
Passo 6
Comentário importante sobre completude do modelo (para não te deixar perdido na prova):
- A conclusão acima vem estritamente de Faraday. No entanto, campos elétricos que variam no tempo costumam produzir campos magnéticos através da equação de Ampère-Maxwell:
- Assim, se houver regiões onde
e não há condutores (ou mesmo com condutores), a parte (corrente de deslocamento) cria um rotacional de , e portanto pode ser espacialmente não nulo mesmo sendo independente do tempo (ou em alguns arranjos físicos variar no tempo dependendo das fontes). - Exemplo prático: entre as placas de um capacitor com campo
aproximadamente uniforme, a solução obtida por Ampère-Maxwell (usando simetria cilíndrica e a forma integral da lei de Ampère-Maxwell) dá um campo magnético azimutal
Substituindo
obtemos
válido dentro da região onde o modelo (simetria cilíndrica e fluxo elétrico
) se aplica. Ou seja: Faraday isoladamente dá
, mas para achar
concreto muitas vezes é preciso usar Ampère-Maxwell e condições de contorno físicas.