Uma onda eletromagnética plana se propaga na direção +z com comprimento de onda \lambda=600 \mathrm{~nm}. A amplitude do campo elétrico é E_{0}=150 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e oscila na direção x. Determine:
(a) A frequência da onda
(b) A amplitude do campo magnético
(c) As expressões completas para \vec{E}(z, t) e \vec{B}(z, t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que está sendo pedido):
  • Comprimento de onda: \lambda=600\\ \mathrm{nm}.
  • Amplitude do campo elétrico: E_0=150\\ \mathrm{V/m}.
  • A onda é plana, se propaga na direção +z e o campo elétrico oscila na direção x.
O enunciado pede:
(a) a frequência da onda;
(b) a amplitude do campo magnético;
(c) as expressões completas para \vec{E}(z,t) e \vec{B}(z,t).

Passo 2

Vamos transformar unidades e calcular a frequência. A relação básica entre velocidade, comprimento de onda e frequência é
c=\lambda f,
onde c é a velocidade da luz no vácuo (valor prático c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência. Primeiro converto \lambda para metros:
\lambda = 600\\ \mathrm{nm} = 600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora isolo f:
f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3{,}0\times10^{8}}{6{,}0\times10^{-7}}.
Fazendo as potências de 10 separadamente e simplificando o coeficiente:
\frac{3{,}0}{6{,}0}=0{,}5,\qquad 10^{8-(-7)}=10^{15},
portanto
f=0{,}5\times10^{15}=5{,}0\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Também é útil calcular a frequência angular \omega (usada nas expressões de onda):
\omega=2\pi f = 2\pi\times5{,}0\times10^{14}=10\pi\times10^{14}=\pi\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}\approx3{,}14\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular o número de onda k. A definição é
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Usando \lambda=6{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}:
k=\frac{2\pi}{6{,}0\times10^{-7}}=\frac{2\pi}{6}\times10^{7}=\frac{\pi}{3}\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Numericamente,
k\approx1{,}0472\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Encontrar a amplitude do campo magnético B_0. Para uma onda eletromagnética plana no vácuo há a relação simples entre amplitudes:
E_0 = c\,B_0,
ou equivalentemente
B_0=\frac{E_0}{c}.
Essa relação vem das equações de Maxwell para ondas planas em vácuo e também pode ser entendida porque os campos elétrico e magnético têm a mesma energia por unidade de volume e estão relacionados pela velocidade da luz. Substituindo os valores:
B_0=\frac{150\\ \mathrm{V/m}}{3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}.
Calcule passo a passo:
\frac{150}{3{,}0}=50,\qquad 50\times10^{-8}=5{,}0\times10^{-7}.
Logo
B_0=5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
(Nota rápida: 1\\ \mathrm{V\,s/m^2}=1\\ \mathrm{T}, por isso a unidade está correta.)

Passo 5

Escrever as expressões vetoriais completas. A forma geral de uma onda plana que se propaga na direção +z é
\vec{E}(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t+\varphi)\,\hat{e}_E,
onde E_0 é a amplitude, k o número de onda, \omega a frequência angular, \varphi a fase inicial e \hat{e}_E o vetor unitário na direção do campo elétrico. No enunciado diz que o campo elétrico oscila na direção x, então \hat{e}_E=\hat{x}. Para ondas no vácuo os campos \vec{E} e \vec{B} estão em fase (mesma \varphi) e \vec{B} é perpendicular a \vec{E} e à direção de propagação. Como a propagação é +z e \vec{E} é \hat{x}, a direção de \vec{B} deve ser \hat{y} para satisfazer a regra da mão direita ( \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}). Assim podemos tomar fase \varphi=0 (escolha comum, salvo indicação contrária). Portanto:
\vec{E}(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x},
\vec{B}(z,t)=B_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{y},
com B_0=E_0/c. Essas expressões garantem que \vec{E}\times\vec{B} aponta para +z.

Passo 6

Substituir os valores numéricos calculados em (2), (3) e (4) para escrever as expressões finais numéricas:
\vec{E}(z,t)=150\cos\bigl((1{,}0472\times10^{7})\,z-(3{,}1416\times10^{15})\,t\bigr)\,\hat{x}\quad\mathrm{(V/m)},
\vec{B}(z,t)=5{,}0\times10^{-7}\cos\bigl((1{,}0472\times10^{7})\,z-(3{,}1416\times10^{15})\,t\bigr)\,\hat{y}\quad\mathrm{(T)}.
(Fórmulas acima usam k\approx1{,}0472\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}} e \omega\approx3{,}1416\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.)

Resposta

(a) f=5{,}0\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(b) B_0=5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
(c) \displaystyle \vec{E}(z,t)=150\cos\!\bigl((1{,}0472\times10^{7})\,z-(3{,}1416\times10^{15})\,t\bigr)\,\hat{x}\\ \mathrm{(V/m)}
\displaystyle \vec{B}(z,t)=5{,}0\times10^{-7}\cos\!\bigl((1{,}0472\times10^{7})\,z-(3{,}1416\times10^{15})\,t\bigr)\,\hat{y}\\ \mathrm{(T)}

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