Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que E=E0 Sen(K Z-omega t) widehatx
Aplique a Lei de Ampère em sua forma diferencial para encontrar a expressão para o campo magnético.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma onda eletromagnética no vácuo com
O que queremos é achar o campo magnético vec E = E0 ,senl(Kz - omega tr),hat x usando a Lei de Ampère na forma diferencial (uma das equações de Maxwell).
Conteúdo: Eletromagnetismo (Equações de Maxwell), em especial
.
No vácuo , então basta usar
.
Para isso precisamos:
  1. Saber como calcular o rotacional ( ) de um campo vetorial.
  2. Fazer derivada parcial temporal de .
  3. Escolher a direção certa de (ela tem que ficar perpendicular a e à direção de propagação ).

Passo 2

Escrevendo a Lei de Ampère–Maxwell no vácuo:
nablatimesvec B ;=;mu0,varepsilon0;partialvec Epartial t
Como não há correntes livres, eliminamos vec B ;=; B0;senl(Kz - omega t + phir),hat y, .
Por causa da simetria da onda (ela vai no e está em ), a gente espera que
fique em . Então já “chutamos” a forma
onde e serão determinados pela lei.

Passo 3

Primeiro vamos ajustar o “ vec B = B0,senl(Kz - omega tr),hat y ”. Normalmente a onda (nablatimesvec B)x = partial Bzpartial y-partial Bypartial z = -partialpartial zl[B0,sen(Kz-omega t)r] = -B0,K,cos(Kz-omega t) e estão em fase, então podemos tomar :
Agora calculemos o rotacional de . Só a componente é não-nula:

Passo 4

Em seguida, derivada parcial de partialvec Epartial t = partialpartial tl[E0,sen(Kz-omega t)r],hat x = -E0,omega,cos(Kz-omega t),hat x em relação ao tempo:

Passo 5

Plugando na Lei de Ampère–Maxwell
-,B0,K,cos(Kz-omega t) ;=; mu0varepsilon0l[-E0,omega,cos(Kz-omega t)r] , só a componente B0,K = mu0varepsilon0,E0,omega entra:
Cancelamos o “” em ambos os lados, sobrando

Passo 6

Lembrando que no vácuo B0,omegac ;=;1c^2,E0,omega Longrightarrow B0 = E0c e que para a onda , temos

Resposta

Essa é a expressão do campo magnético associado à onda dada.

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