O campo elétrico em um ponto ao longo do eixo central de um anel de carga Q é
Ey=k Q y(R^2+y^2)^32
Determine a coordenada y referente ao valor máximo de Ey.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função que descreve o campo elétrico ( Ey) em um ponto ao longo do eixo central de um anel de carga. A nossa missão é descobrir em qual posição ao longo desse eixo o campo elétrico atinge o valor máximo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre como encontrar máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula que nos foi dada:
Ey = k Q y(R^2 + y^2)^32
Aqui, k é a constante eletrostática, Q é a carga total do anel, R é o raio do anel e y é a coordenada ao longo do eixo central onde estamos calculando o campo elétrico.

Passo 3

Para encontrar o valor de y que maximiza Ey, a gente precisa derivar Ey em relação a y e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque nos pontos de máximo ou mínimo, a inclinação da função (que é a derivada) é zero.

Passo 4

Vamos então calcular a derivada de Ey em relação a y. Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:
dEydy = k Q (R^2 + y^2)^32 - k Q y cdot 32 cdot 2y (R^2 + y^2)^12(R^2 + y^2)^3
Simplificando isso, ficamos com:
dEydy = k Q (R^2 + y^2) - 3 k Q y^2(R^2 + y^2)^52

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
k Q (R^2 + y^2 - 3 y^2)(R^2 + y^2)^52 = 0
O numerador precisa ser igual a zero:
R^2 + y^2 - 3 y^2 = 0 R^2 - 2 y^2 = 0

Passo 6

Resolvendo para y, temos:
2 y^2 = R^2 y^2 = R^22 y = pm Rraiz2
Como estamos falando de coordenadas ao longo do eixo, consideramos apenas o valor positivo:
y = Rraiz2

Resposta

A coordenada y que corresponde ao valor máximo de Ey é y = dfracRraiz2.

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