O campo elétrico produzido por um fio retilíneo muito longo carregado é perpendicular ao fio e possui módulo E=\lambda /\left(2 \pi \epsilon_{0} r\right). Considere uma superficie cilíndrica imaginária de raio r=0,25 \mathrm{~m} e comprimento l=0.5 \mathrm{~m} cujo eixo coincide com o fio retilíneo. Se \lambda=8,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} calcule: (a) O fluxo elétrico através das tampas do cilindro (justifique sua resposta). (b) O fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro. (c) O fluxo elétrico através do cilindro interiro se seu raio dobrar de valor. Resposta: (a) \Phi_{E}=0; (b) \Phi_{E}=4,52 \times 10^{5} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}; (c) O mesmo resultado do item (b).

Passo 1

O enunciado dá a expressão do campo elétrico produzido por um fio retilíneo muito longo:
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r},
e fornece os valores:
r=0{,}25\\ \mathrm{m},\qquad l=0{,}5\\ \mathrm{m},\qquad \lambda=8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
O que se pede:
(a) o fluxo elétrico através das tampas (as duas faces circulares) do cilindro;
(b) o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro;
(c) o fluxo elétrico através do cilindro inteiro se o raio dobrar.

Passo 2

Definição física que vamos usar: o fluxo elétrico através de uma superfície S é
\Phi_E=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área apontando na direção normal à superfície (módulo dA e direção normal). Explicando com calma: em cada ponto da superfície calcula-se o produto escalar entre o campo \mathbf{E} e o vetor área d\mathbf{A}; somando (integrando) sobre toda a superfície obtém-se o fluxo.

Passo 3

Fluxo através das tampas (item a).
  • As tampas são discos cujas normais são paralelas ao eixo do cilindro (digamos direção \pm\hat{z}).
  • O campo \mathbf{E} produzido pelo fio é radial (aponta na direção \hat{r}, perpendicular ao eixo), ou seja, está contido no plano das tampas.
  • Em cada ponto de uma tampa o produto escalar é
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\hat{r}\cdot(\pm\hat{z}\,dA)=0,
pois \hat{r}\perp\hat{z}.
Portanto o fluxo através de cada tampa é zero e, somando as duas tampas, o fluxo através das tampas é
\Phi_E(\text{tampas})=0.

Passo 4

Fluxo através da superfície lateral (estratégia e dois caminhos).
Duas maneiras equivalentes de calcular o fluxo lateral:
  • Método 1 (Lei de Gauss, que é mais simples): para uma superfície fechada que envolve carga, a lei de Gauss diz
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume fechado. Aqui a carga do fio dentro do cilindro de comprimento l é
Q_{\text{enc}}=\lambda l.
Como já vimos as tampas têm fluxo zero, todo o fluxo da superfície fechada sai pela lateral. Logo o fluxo pela lateral é
\Phi_E(\text{lateral})=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}.
  • Método 2 (integração direta para aprendizado): sobre a superfície lateral, o módulo de \mathbf{E} é constante e igual a \dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} para todo ponto a distância r do eixo; o elemento de área lateral é dA = r\,d\varphi\,dz e integrando \varphi de 0 a 2\pi e z de 0 a l,
\Phi_E(\text{lateral})=\int_0^{l}\int_0^{2\pi} E\,r\,d\varphi\,dz =E\,(2\pi r l).
Substituindo E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} obtém-se
\Phi_E(\text{lateral})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\cdot(2\pi r l)=\frac{\lambda l}{\epsilon_0},
confirmando o resultado da lei de Gauss. Aqui \lambda l é a carga dentro do cilindro.

Passo 5

Cálculo numérico do item (b).
Primeiro calcule a carga dentro do cilindro:
Q_{\text{enc}}=\lambda l=(8{,}0\times10^{-6})\cdot0{,}5=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Usando \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\Phi_E(\text{lateral})=\frac{\lambda l}{\epsilon_0} =\frac{4{,}0\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}} \approx4{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Esse é o valor do fluxo através da superfície lateral.

Passo 6

Item (c) — se o raio dobrar.
Usando a expressão obtida acima,
\Phi_E(\text{lateral})=\frac{\lambda l}{\epsilon_0},
observa-se que não aparece o raio r: o fluxo através da superfície fechada depende apenas da carga Q_{\text{enc}}=\lambda l e de \epsilon_0. Portanto, se o raio dobrar, a carga dentro do cilindro de comprimento l permanece a mesma, logo o fluxo através do cilindro inteiro permanece igual ao valor do item (b). Isso também fica claro pela forma integrada E(2\pi r l): ao dobrar r o campo E diminui proporcionalmente a 1/r, e o produto E\cdot(2\pi r l) permanece igual.

Resposta

(a) \Phi_E=0
(b) \Phi_E=4{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}
(c) \Phi_E=4{,}52\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}

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