O campo elétrico produzido por um fio retilíneo muito longo carregado é perpendicular ao fio e possui módulo
. Considere uma superficie cilíndrica imaginária de raio
e comprimento
cujo eixo coincide com o fio retilíneo. Se
calcule: (a) O fluxo elétrico através das tampas do cilindro (justifique sua resposta). (b) O fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro. (c) O fluxo elétrico através do cilindro interiro se seu raio dobrar de valor. Resposta: (a)
; (b)
; (c) O mesmo resultado do item (b).
Passo 1
O enunciado dá a expressão do campo elétrico produzido por um fio retilíneo muito longo:
e fornece os valores:
O que se pede:
(a) o fluxo elétrico através das tampas (as duas faces circulares) do cilindro;
(b) o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro;
(c) o fluxo elétrico através do cilindro inteiro se o raio dobrar.
(a) o fluxo elétrico através das tampas (as duas faces circulares) do cilindro;
(b) o fluxo elétrico através da superfície lateral do cilindro;
(c) o fluxo elétrico através do cilindro inteiro se o raio dobrar.
Passo 2
Definição física que vamos usar: o fluxo elétrico através de uma superfície
é
onde
é o vetor área apontando na direção normal à superfície (módulo
e direção normal). Explicando com calma: em cada ponto da superfície calcula-se o produto escalar entre o campo
e o vetor área
; somando (integrando) sobre toda a superfície obtém-se o fluxo.
Passo 3
Fluxo através das tampas (item a).
- As tampas são discos cujas normais são paralelas ao eixo do cilindro (digamos direção
). - O campo
produzido pelo fio é radial (aponta na direção , perpendicular ao eixo), ou seja, está contido no plano das tampas. - Em cada ponto de uma tampa o produto escalar é
pois
.
Portanto o fluxo através de cada tampa é zero e, somando as duas tampas, o fluxo através das tampas é
Portanto o fluxo através de cada tampa é zero e, somando as duas tampas, o fluxo através das tampas é
Passo 4
Fluxo através da superfície lateral (estratégia e dois caminhos).
Duas maneiras equivalentes de calcular o fluxo lateral:
Duas maneiras equivalentes de calcular o fluxo lateral:
- Método 1 (Lei de Gauss, que é mais simples): para uma superfície fechada que envolve carga, a lei de Gauss diz
onde
é a carga total contida no volume fechado. Aqui a carga do fio dentro do cilindro de comprimento
é
Como já vimos as tampas têm fluxo zero, todo o fluxo da superfície fechada sai pela lateral. Logo o fluxo pela lateral é
- Método 2 (integração direta para aprendizado): sobre a superfície lateral, o módulo de
é constante e igual a para todo ponto a distância do eixo; o elemento de área lateral é e integrando de a e de a ,
Substituindo
obtém-se
confirmando o resultado da lei de Gauss. Aqui
é a carga dentro do cilindro.
Passo 5
Cálculo numérico do item (b).
Primeiro calcule a carga dentro do cilindro:
Primeiro calcule a carga dentro do cilindro:
Usando
,
Esse é o valor do fluxo através da superfície lateral.
Passo 6
Item (c) — se o raio dobrar.
Usando a expressão obtida acima,
Usando a expressão obtida acima,
observa-se que não aparece o raio
: o fluxo através da superfície fechada depende apenas da carga
e de
. Portanto, se o raio dobrar, a carga dentro do cilindro de comprimento
permanece a mesma, logo o fluxo através do cilindro inteiro permanece igual ao valor do item (b). Isso também fica claro pela forma integrada
: ao dobrar
o campo
diminui proporcionalmente a
, e o produto
permanece igual.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)