Considere um campo elétrico uniforme, de módulo E=2,0 \times 10^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{C}, cujo vetor seja paralelo ao eixo x apontando no sentido do crescimento de x. Imagine uma parede perpendicular ao eixo x e localizada a uma distância de 5 m da origem do sistema de coordenadas. Escolha, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensôes de buracos a serem feitos na parede de modo que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a:
(c) 1,23 \mathrm{Nm}^{2} / C

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma escolha de forma/dimensões dos buracos:
  • Campo elétrico uniforme de módulo E=2{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
  • O vetor campo é paralelo ao eixo x apontando no sentido de crescimento de x.
  • Há uma parede perpendicular ao eixo x localizada em x=5\\ \mathrm{m}.
  • Quer-se fazer buracos na parede tais que o fluxo do campo através de cada buraco seja \Phi=1{,}23\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Pergunta do enunciado: escolher, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensões dos buracos para que o fluxo através de cada um seja \Phi=1{,}23\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo):
  • O fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi=\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área elemento da superfície (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície, sentido escolhido).
  • Se o campo \mathbf{E} é uniforme e a superfície é plana, a integral simplifica para
\Phi = E\,A\cos\theta,
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico (aqui E=2{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}),
  • A é a área da abertura (buraco) da parede,
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{E} e o vetor normal da superfície.
  • No nosso caso a parede é perpendicular ao eixo x e o campo é paralelo a x. Assim o vetor normal da parede está alinhado com o campo ( \theta=0), então \cos\theta=1 e a fórmula fica
\Phi = E\,A.
(Observação prática: a posição da parede em x=5\\ \mathrm{m} não altera nada porque o campo é uniforme.)

Passo 3

Isolando a área A na relação \Phi=E\,A:
A=\frac{\Phi}{E}.
Substituindo os valores fornecidos:
A=\frac{1{,}23}{2{,}0\times10^{2}}.
Calculemos:
A= \frac{1{,}23}{200} = 6{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto a área do buraco deve ser A=6{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Escolha simples e prática: buraco quadrado (fácil de cortar e medir). Se o buraco for um quadrado de lado s, então
s=\sqrt{A}.
Calculando:
s=\sqrt{6{,}15\times10^{-3}}=7{,}84\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
s=7{,}84\\ \mathrm{cm}.
Ou seja: um quadrado com lado s\approx7{,}84\\ \mathrm{cm} tem área 6{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} e portanto dá o fluxo pedido.

Passo 5

Alternativa igualmente simples: buraco circular (se preferir uma fresa circular). Para um círculo de raio r,
\pi r^{2}=A \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}.
Usando \pi\approx3{,}1416:
r=\sqrt{\frac{6{,}15\times10^{-3}}{3{,}1416}} \approx 4{,}43\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 4{,}43\\ \mathrm{cm}.
Portanto um furo circular de raio r\approx4{,}43\\ \mathrm{cm} (diâmetro \approx8{,}86\\ \mathrm{cm}) também atende.

Passo 6

Verificação rápida do fluxo com qualquer uma das escolhas (usando A=6{,}15\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}):
\Phi = E\,A = (2{,}0\times10^{2})\cdot(6{,}15\times10^{-3}) = 1{,}23\\ \mathrm{N\,m^{2}/C},
confere com o valor pedido.

Resposta

Quadrado: lado s=7{,}84\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=7{,}84\\ \mathrm{cm}.
Círculo (alternativa): raio r=4{,}43\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=4{,}43\\ \mathrm{cm}.

Exercícios relacionados