Um cilindro isolante, infinitamente longo, possui um raio
e tem uma densidade volumétrica de carga que varia com o raio, em acordo com a expressão
onde
e
são constantes positivas e
é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Usando a lei de Gauss, determine a magnitude (módulo) do campo elétrico nas seguintes regiões:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá um cilindro isolante infinitamente longo de raio
com densidade volumétrica de carga que depende do raio:
onde
,
e
são constantes positivas e
é a distância ao eixo. A pergunta deste item (b) pede a magnitude (módulo) do campo elétrico na região externa ao cilindro, isto é para
.
Passo 2
Ideia física e escolha da superfície de Gauss.
Para um cilindro infinito com distribuição de carga que depende só de há simetria cilíndrica: o campo elétrico é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos a mesma distância
do eixo. Por isso escolhemos uma superfície de Gauss em forma de cilindro coaxial de raio
e comprimento
(com
). A lei de Gauss diz:
Para um cilindro infinito com distribuição de carga que depende só de
Aqui
é a carga total contida dentro da superfície de Gauss e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Aplicando a simetria ao lado esquerdo da lei de Gauss.
Como é radial e constante sobre a superfície lateral do cilindro de Gauss, e as tampas não contribuem (o campo é paralelo às tampas), a integral da superfície reduz-se a:
Como
Portanto a lei de Gauss fica
Isolaremos
depois de calcular
.
Passo 4
Cálculo da carga total dentro do raio
.
A carga contida no cilindro de raio e comprimento
é obtida integrando a densidade volumétrica em coordenadas cilíndricas:
A carga contida no cilindro de raio
Como
não depende de
nem de
, podemos fazer as integrais triviais em
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 5
Efetuando a integração passo a passo.
Expandindo o integrando:
Expandindo o integrando:
Agora integramos de
a
:
Calcule as primitivas:
Substituindo:
Portanto
Passo 6
Substituição em Gauss e isolamento de
.
Voltando à equação de Gauss e substituindo
:
Voltando à equação de Gauss
Cancelando o fator comum
dos dois lados obtemos
Finalmente isolando
:
Passo 7
Interpretação final e orientação de prova.
- O resultado mostra que, para
, o campo elétrico se comporta como o de uma linha de carga com densidade linear ; por isso . - Em prova: sempre escolha um cilindro coaxial como superfície de Gauss para explorar a simetria; calcule a carga total por integração radial até
e simplifique cancelando o comprimento .