Considere um campo elétrico uniforme, de módulo
, cujo vetor seja paralelo ao eixo
apontando no sentido do crescimento de
. Imagine uma parede perpendicular ao eixo
e localizada a uma distância de 5 m da origem do sistema de coordenadas. Escolha, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensôes de buracos a serem feitos na parede de modo que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumo claro do que foi informado):
- Campo elétrico uniforme de módulo
. - O vetor campo é paralelo ao eixo
e aponta no sentido do crescimento de (ou seja, aponta para ). - Há uma parede perpendicular ao eixo
localizada a da origem. - Pedido: escolher, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensões de buracos na parede tais que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a
.
Observações úteis que já ficam claras aqui: a parede é perpendicular a
e o campo é paralelo a
; a posição (5 m) é dada, mas não foi pedido usar essa distância numericamente — vamos ver se ela entra no cálculo.
Passo 2
Definição física que precisamos entender (aula curtinha sobre fluxo elétrico).
- O fluxo elétrico através de uma superfície
é definido por
onde
é o vetor área elementar da superfície (magnitude igual à área do elemento e direção normal à superfície).
- O produto escalar
envolve o ângulo entre o campo e a normal: . - Em palavras simples: se o campo atravessa a superfície perpendicularmente (
), então e o fluxo é simplesmente vezes a área; se o campo é paralelo à superfície ( ), o fluxo é zero.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso (por que é fácil).
- A parede é perpendicular ao eixo
. Portanto a normal à parede está ao longo de ou . - O campo
aponta para . Logo o ângulo entre e a normal da parede é e . - Como o campo é uniforme e a superfície do buraco que escolhermos será plana (parte da parede), podemos tirar
da integral e obter a forma simples
onde
é a área do buraco. Note também que a distância de
da origem não entra: para campo uniforme o fluxo por uma área plana depende só de
e da área e orientação.
Passo 4
Calcular a área necessária a partir da relação
.
- Isolando
:
- Substituindo os valores numéricos (usar separador decimal com vírgula conforme pedido):
- Simplificando os fatores numéricos:
- Portanto
Comentário didático: os
cancelaram, e o fator
vale exatamente
. Resultado bem simpático: a área requerida é
metros quadrados.
Passo 5
Escolher a forma e determinar dimensões (modo mais fácil).
- A forma mais simples e simétrica para uma área dada é o círculo (mais fácil de descrever e fabricar em prova). Para um círculo valem:
onde
é o raio do círculo.
- Igualando à área encontrada:
Portanto, um buraco circular de raio
tem área
e produz o fluxo pedido.
Passo 6
Alternativas e comentário final (útil na prova).
- Se preferir outro formato, qualquer figura com área
funciona, porque o fluxo depende só da área e da orientação. Exemplo: um buraco quadrado com lado (porque ). - Em resumo: escolha uma superfície plana na parede perpendicular ao campo com área
. O círculo de raio é a escolha mais simples e bonita.
Resposta
Um buraco circular de raio
(área
), pois
.