Considere um campo elétrico uniforme, de módulo E=2,0 \times 10^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{C}, cujo vetor seja paralelo ao eixo x apontando no sentido do crescimento de x. Imagine uma parede perpendicular ao eixo x e localizada a uma distância de 5 m da origem do sistema de coordenadas. Escolha, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensôes de buracos a serem feitos na parede de modo que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a:
(b) 2 \pi \times 10^{2} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumo claro do que foi informado):
  • Campo elétrico uniforme de módulo E = 2{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.
  • O vetor campo é paralelo ao eixo x e aponta no sentido do crescimento de x (ou seja, aponta para +\!x).
  • Há uma parede perpendicular ao eixo x localizada a 5\\ \mathrm{m} da origem.
  • Pedido: escolher, do modo mais fácil possível, a forma e as dimensões de buracos na parede tais que o fluxo do campo elétrico através de cada buraco seja igual a \Phi = 2\pi\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.
Observações úteis que já ficam claras aqui: a parede é perpendicular a x e o campo é paralelo a x; a posição (5 m) é dada, mas não foi pedido usar essa distância numericamente — vamos ver se ela entra no cálculo.

Passo 2

Definição física que precisamos entender (aula curtinha sobre fluxo elétrico).
  • O fluxo elétrico através de uma superfície S é definido por
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A},
onde d\vec{A} é o vetor área elementar da superfície (magnitude igual à área do elemento e direção normal à superfície).
  • O produto escalar \vec{E}\cdot d\vec{A} envolve o ângulo \theta entre o campo \vec{E} e a normal: \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\,dA\cos\theta.
  • Em palavras simples: se o campo atravessa a superfície perpendicularmente ( \theta=0), então \cos\theta=1 e o fluxo é simplesmente E vezes a área; se o campo é paralelo à superfície ( \theta=90^\circ), o fluxo é zero.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso (por que é fácil).
  • A parede é perpendicular ao eixo x. Portanto a normal à parede está ao longo de +\!x ou -\!x.
  • O campo \vec{E} aponta para +\!x. Logo o ângulo entre \vec{E} e a normal da parede é \theta=0 e \cos\theta=1.
  • Como o campo é uniforme e a superfície do buraco que escolhermos será plana (parte da parede), podemos tirar E da integral e obter a forma simples
\Phi = E\,A,
onde A é a área do buraco. Note também que a distância de 5\\ \mathrm{m} da origem não entra: para campo uniforme o fluxo por uma área plana depende só de E e da área e orientação.

Passo 4

Calcular a área necessária a partir da relação \Phi = E A.
  • Isolando A:
A=\dfrac{\Phi}{E}.
  • Substituindo os valores numéricos (usar separador decimal com vírgula conforme pedido):
A=\dfrac{2\pi\times10^{2}}{2{,}0\times10^{2}}.
  • Simplificando os fatores numéricos:
A=\dfrac{2}{2{,}0}\,\pi=\;1\cdot\pi=\pi.
  • Portanto
A=\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário didático: os 10^{2} cancelaram, e o fator 2/2{,}0 vale exatamente 1. Resultado bem simpático: a área requerida é \pi metros quadrados.

Passo 5

Escolher a forma e determinar dimensões (modo mais fácil).
  • A forma mais simples e simétrica para uma área dada é o círculo (mais fácil de descrever e fabricar em prova). Para um círculo valem:
A=\pi r^{2},
onde r é o raio do círculo.
  • Igualando à área encontrada:
\pi r^{2}=\pi \quad\Rightarrow\quad r^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad r=1\\ \mathrm{m}.
Portanto, um buraco circular de raio r=1\\ \mathrm{m} tem área \pi\\ \mathrm{m^{2}} e produz o fluxo pedido.

Passo 6

Alternativas e comentário final (útil na prova).
  • Se preferir outro formato, qualquer figura com área A=\pi\\ \mathrm{m^{2}} funciona, porque o fluxo depende só da área e da orientação. Exemplo: um buraco quadrado com lado a=\sqrt{\pi}\\ \mathrm{m} (porque a^{2}=\pi).
  • Em resumo: escolha uma superfície plana na parede perpendicular ao campo com área \pi\\ \mathrm{m^{2}}. O círculo de raio 1\\ \mathrm{m} é a escolha mais simples e bonita.

Resposta

Um buraco circular de raio r=1\\ \mathrm{m} (área A=\pi\\ \mathrm{m^{2}}), pois \Phi=E A=(2{,}0\times10^{2})(\pi)=2\pi\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

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