O campo elétrico E produzido por uma linha muito longa (infinita) e homogênea de carga, em um ponto a uma distância
da linha, é dado pela seguinte expressão na forma vetorial,
sendo
e
constantes. Determine o campo elétrico
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletricidade estática que fala sobre o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita e homogênea. O objetivo é determinar o campo elétrico
em um ponto que está a uma distância
dessa linha. Para resolver isso, vamos precisar usar integração e entender um pouco sobre campos elétricos de distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que nos foi dada para o campo elétrico
:
Aqui,
é a constante de Coulomb,
é a densidade linear de carga,
é a coordenada ao longo da linha de carga, e
é a distância perpendicular da linha até o ponto onde queremos calcular
.
Passo 3
Vamos dividir o campo elétrico
em duas componentes: a componente na direção
(horizontal) e a componente na direção
(vertical).
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Comecemos pela componente horizontal
:
Observamos que a função $ \frac{x}{\left(x^{2} + y{2}\right){3/2}} $ é uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. Quando integramos uma função ímpar de
a
, o resultado é zero devido à simetria.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a componente vertical
:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que é uma integral padrão. A integral de $ \frac{dx}{\left(x^{2} + a{2}\right){3/2}} $ de
a
é igual a $ \frac{2}{a^{2}} $, onde $ a = y $.
Portanto:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão de
:
Resposta
Então, juntando tudo, o campo elétrico
no ponto a uma distância
da linha de carga é: