O campo elétrico E produzido por uma linha muito longa (infinita) e homogênea de carga, em um ponto a uma distância y da linha, é dado pela seguinte expressão na forma vetorial,
E=k lambda integral-infty^+- x d x(x^2+y^2)^3 / 2 i+k lambda y integral-infty^+infty d x(x^2+y^2)^3 / 2 j
sendo k e lambda constantes. Determine o campo elétrico E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletricidade estática que fala sobre o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita e homogênea. O objetivo é determinar o campo elétrico E em um ponto que está a uma distância y dessa linha. Para resolver isso, vamos precisar usar integração e entender um pouco sobre campos elétricos de distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que nos foi dada para o campo elétrico E:
E = k lambda integral-infty^+infty x , dx(x^2 + y^2)^3/2 i + k lambda y integral-infty^+infty dx(x^2 + y^2)^3/2 j
Aqui, k é a constante de Coulomb, lambda é a densidade linear de carga, x é a coordenada ao longo da linha de carga, e y é a distância perpendicular da linha até o ponto onde queremos calcular E.

Passo 3

Vamos dividir o campo elétrico E em duas componentes: a componente na direção i (horizontal) e a componente na direção j (vertical).
Ex = k lambda integral-infty^+infty x , dx(x^2 + y^2)^3/2
Ey = k lambda y integral-infty^+infty dx(x^2 + y^2)^3/2
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Comecemos pela componente horizontal Ex:
Ex = k lambda integral-infty^+infty x , dx(x^2 + y^2)^3/2
Observamos que a função $ \frac{x}{\left(x^{2} + y{2}\right){3/2}} $ é uma função ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $. Quando integramos uma função ímpar de x(x^2 + y^2)^3/2 a f(-x) = -f(x) , o resultado é zero devido à simetria.
Portanto:
-infty

Passo 5

Agora, vamos calcular a componente vertical Ey:
Ey = k lambda y integral-infty^+infty dx(x^2 + y^2)^3/2
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que é uma integral padrão. A integral de $ \frac{dx}{\left(x^{2} + a{2}\right){3/2}} $ de dx(x^2 + a^2)^3/2 a -infty é igual a $ \frac{2}{a^{2}} $, onde $ a = y $.
Portanto:
+infty

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão de Ey:
Ey = k lambda y times 2y^2 = 2 k lambday

Resposta

Então, juntando tudo, o campo elétrico E no ponto a uma distância y da linha de carga é:
E = 2 k lambday j

Exercícios relacionados