Qual é o campo elétrico produzido nas proximidades de uma placa - infinita carregada? Use a lei da Gauss para obter o resultado.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico produzido por uma placa infinita, uniformemente carregada com densidade superficial de carga sigma. O conteúdo que vamos usar é a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga envolvida por ela. Como a placa é infinita, o problema apresenta simetria plana, ou seja, o campo só pode depender da distância à placa e apontar na direção normal a ela.

Passo 2

Para explorar essa simetria, escolhemos como superfície de Gauss um cilindro cujas bases são dois discos de área A paralelos à placa, um de cada lado, e com eixo perpendicular à placa. Esse “pílula” intercepta a placa de modo que a carga envolvida seja simplesmente
Qrm int=sigma,A
As faces laterais do cilindro têm normal tangencial à placa, de modo que nelas o campo é paralelo à superfície e não contribui para o fluxo.

Passo 3

Aplicamos a Lei de Gauss:
Phi = oint vec Ecdot dvec A = Qrm intvarepsilon0
Como o campo em cada base é uniforme e tem módulo E, o fluxo total é
Phi = E;A ;+;E;A ;=;2,E,A
Logo,
2,E,A ;=;sigma,Avarepsilon0

Passo 4

Cancelando A em ambos os lados, obtemos o valor do campo próximo à placa:
E=sigma2,varepsilon0
Em forma vetorial, se hat n é o versor que sai da placa, então
vec E=sigma2,varepsilon0,hat n,
indicando que, para sigma>0, o campo sai da placa em ambas as faces, e para sigma<0 ele entra.

Resposta

boxedvec E=sigma2,varepsilon0,hat n

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