O campo elétrico numa região cilíndrica de altura
e raio
é dado por
, com
e
constantes,
sendo a distância ao eixo central da região e
o seu versor. Encontre: (a) a densidade de carga dessa região como função de
e (b) a respectiva carga total
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Campo elétrico na região cilíndrica (com coordenadas cilíndricas usuais) é
. O enunciado também explica que é a distância ao eixo central e é o versor radial. Vou interpretar , ou seja, o campo é radial e depende apenas de :
- A região considerada é um cilindro de altura
e raio . -
e são constantes.
O que se pede:
(a) a densidade de cargadessa região como função de ;
(b) a carga totalcontida na região cilíndrica.
Passo 2
Fórmula que vou usar (Lei de Gauss na forma diferencial / equação de Maxwell para campo elétrico):
Isto significa que, para encontrar a densidade volumétrica de carga
, basta calcular a divergência do campo e multiplicar por
:
Agora, lembrando a expressão da divergência em coordenadas cilíndricas: para um campo que só tem componente radial
(sem dependência em
nem em
),
Explico por quê, de forma intuitiva:
mede como o fluxo radial que atravessa um cilindrinho de raio
cresce com
; esse crescimento por unidade de volume é exatamente a divergência. Não é necessário memorizar derivação completa agora — basta saber aplicar essa fórmula para campos radiais simétricos.
Passo 3
Vou aplicar a fórmula acima ao campo dado. Aqui
.
Calcule
:
Derivada em relação a
:
Dividindo por
para obter a divergência:
Aplicando
, obtemos a densidade de carga (para
; fora do cilindro,
):
Observações didáticas e de comportamento no eixo:
- A expressão tem um termo
e, portanto, parece divergir quando . Isso é compatível com muitos campos radiais: a divergência local pode comportar um termo singular proporcional a , mas esse singular é integrável quando multiplicado pelo volume element . Ou seja, a densidade é “forte” perto do eixo mas a carga total permanece finita. - Para
assumimos (campo fornecido apenas na região cilíndrica; fora dela o enunciado não exige carga).
Passo 4
Agora calculo a carga total
dentro do cilindro. Duas maneiras equivalentes — uso a forma integral da Lei de Gauss (teorema da divergência) ou integro
diretamente. Primeiro método (fluxo pela superfície lateral):
Escolho como superfície fechada o próprio cilindro de raio
e altura
. O fluxo de
atravessa apenas a superfície lateral (topo e fundo têm normal em
e o campo não tem componente
). O fluxo total é
Aqui
. Como
, temos
e logo
.
Pela lei de Gauss integral,
Substituindo
,
Verificação alternativa (integração direta de
sobre o volume): escrever
Substituindo
e multiplicando por
, o integrando em
fica
Integrando de
a
obtemos
. Multiplicando por
recupera-se a mesma expressão para
obtida pelo cálculo do fluxo, confirmando coerência.
Resposta
(a)
(e
para
).
(b) .
(b)