O campo elétrico numa região cilíndrica de altura H e raio 1 / \sqrt{\beta} é dado por \overrightarrow{\mathrm{E}}=\alpha \mathrm{e}^{-\beta \tilde{\tau}^{2}} \hat{\mathrm{r}}, com \alpha e \beta constantes, r sendo a distância ao eixo central da região e \hat{r} o seu versor. Encontre: (a) a densidade de carga dessa região como função de r e (b) a respectiva carga total Q.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Campo elétrico na região cilíndrica (com coordenadas cilíndricas usuais) é \overrightarrow{E}=\alpha \mathrm{e}^{-\beta \tilde{\tau}^{2}}\hat{r}. O enunciado também explica que r é a distância ao eixo central e \hat{r} é o versor radial. Vou interpretar \tilde{\tau}=r, ou seja, o campo é radial e depende apenas de r:
\overrightarrow{E}(r)=\alpha \mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\hat{r}.
  • A região considerada é um cilindro de altura H e raio a=1/\sqrt{\beta}.
  • \alpha e \beta são constantes.
    O que se pede:
    (a) a densidade de carga \rho dessa região como função de r;
    (b) a carga total Q contida na região cilíndrica.

Passo 2

Fórmula que vou usar (Lei de Gauss na forma diferencial / equação de Maxwell para campo elétrico):
\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Isto significa que, para encontrar a densidade volumétrica de carga \rho(r), basta calcular a divergência do campo e multiplicar por \varepsilon_{0}:
\rho(r)=\varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\overrightarrow{E}(r).
Agora, lembrando a expressão da divergência em coordenadas cilíndricas: para um campo que só tem componente radial E_{r}(r) (sem dependência em \varphi nem em z),
\nabla\cdot\overrightarrow{E}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r E_{r}(r)\bigr).
Explico por quê, de forma intuitiva: \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rE_r) mede como o fluxo radial que atravessa um cilindrinho de raio r cresce com r; esse crescimento por unidade de volume é exatamente a divergência. Não é necessário memorizar derivação completa agora — basta saber aplicar essa fórmula para campos radiais simétricos.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula acima ao campo dado. Aqui E_{r}(r)=\alpha \mathrm{e}^{-\beta r^{2}}.
Calcule rE_{r}(r):
rE_{r}(r)=\alpha\, r \,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}.
Derivada em relação a r:
\frac{d}{dr}\bigl(rE_{r}(r)\bigr) = \alpha\frac{d}{dr}\bigl(r \mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\bigr) = \alpha\,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\bigl(1-2\beta r^{2}\bigr).
Dividindo por r para obter a divergência:
\nabla\cdot\overrightarrow{E} = \frac{1}{r}\,\alpha\,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\bigl(1-2\beta r^{2}\bigr) = \alpha\,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\!\left(\frac{1}{r}-2\beta r\right), \qquad (r>0).
Aplicando \rho=\varepsilon_{0}\nabla\cdot\overrightarrow{E}, obtemos a densidade de carga (para 0<r\le a; fora do cilindro, \rho=0):
\rho(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha\,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\!\left(\frac{1}{r}-2\beta r\right),\qquad 0<r\le\frac{1}{\sqrt{\beta}}.
Observações didáticas e de comportamento no eixo:
  • A expressão tem um termo \frac{1}{r} e, portanto, parece divergir quando r\to 0. Isso é compatível com muitos campos radiais: a divergência local pode comportar um termo singular proporcional a 1/r, mas esse singular é integrável quando multiplicado pelo volume element r\,dr\,d\varphi\,dz. Ou seja, a densidade é “forte” perto do eixo mas a carga total permanece finita.
  • Para r>1/\sqrt{\beta} assumimos \rho(r)=0 (campo fornecido apenas na região cilíndrica; fora dela o enunciado não exige carga).

Passo 4

Agora calculo a carga total Q dentro do cilindro. Duas maneiras equivalentes — uso a forma integral da Lei de Gauss (teorema da divergência) ou integro \rho diretamente. Primeiro método (fluxo pela superfície lateral):
Escolho como superfície fechada o próprio cilindro de raio a=1/\sqrt{\beta} e altura H. O fluxo de \overrightarrow{E} atravessa apenas a superfície lateral (topo e fundo têm normal em z e o campo não tem componente z). O fluxo total é
\Phi=\iint_{\text{lateral}} \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A} = \int_{0}^{H}\int_{0}^{2\pi} E_{r}(a)\, a\, d\varphi\, dz = E_{r}(a)\, a \,(2\pi H).
Aqui E_{r}(a)=\alpha \mathrm{e}^{-\beta a^{2}}. Como a^{2}=1/\beta, temos \beta a^{2}=1 e logo E_{r}(a)=\alpha \mathrm{e}^{-1}.
Pela lei de Gauss integral,
Q=\varepsilon_{0}\,\Phi =\varepsilon_{0}\,E_{r}(a)\,a\,(2\pi H) =2\pi \varepsilon_{0}\,\alpha\,H\,a\,\mathrm{e}^{-1}.
Substituindo a=1/\sqrt{\beta},
Q=2\pi \varepsilon_{0}\,\alpha\,H\,\frac{1}{\sqrt{\beta}}\,\mathrm{e}^{-1}.
Verificação alternativa (integração direta de \rho sobre o volume): escrever
Q=\int_{V}\rho\,dV = \int_{0}^{H}\!\!dz\int_{0}^{2\pi}\!\!d\varphi\int_{0}^{a}\rho(r)\,r\,dr.
Substituindo \rho(r)=\varepsilon_{0}\alpha \mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\!\left(\frac{1}{r}-2\beta r\right) e multiplicando por r, o integrando em r fica
\varepsilon_{0}\alpha \mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\bigl(1-2\beta r^{2}\bigr) = \varepsilon_{0}\alpha\frac{d}{dr}\bigl(r\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\bigr).
Integrando de 0 a a obtemos \varepsilon_{0}\alpha\,[r\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}]_{0}^{a}=\varepsilon_{0}\alpha\,a\mathrm{e}^{-1}. Multiplicando por 2\pi H recupera-se a mesma expressão para Q obtida pelo cálculo do fluxo, confirmando coerência.

Resposta

(a) \displaystyle \rho(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha\,\mathrm{e}^{-\beta r^{2}}\!\left(\frac{1}{r}-2\beta r\right),\quad 0<r\le\frac{1}{\sqrt{\beta}} (e \rho(r)=0 para r>\tfrac{1}{\sqrt{\beta}}).
(b) \displaystyle Q=2\pi\,\varepsilon_{0}\,\alpha\,H\,\frac{1}{\sqrt{\beta}}\,\mathrm{e}^{-1}.

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