Uma casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b tem uma densidade volumétrica de carga dada por \rho(r)=\rho_{0}\left(\overline{1-a^{2} / r^{2}}\right), onde \rho_{0} é uma constante e r é a distância ao eixo central da casca. Determine o campo elétrico \vec{E} interior e exterior ao material da casca.
Passo 1
O enunciado fornece:
Uma casca cilíndrica, coaxial com o eixo z, com raio interno a e raio externo b.
Densidade volumétrica de carga dependente apenas da distância radial r ao eixo:
Determinar o campo elétrico \vec{E} nas regiões relevantes: interior ao vazio central (r<a), dentro do material da casca (a<r<b) e exterior à casca (r>b). (Vou apresentar as três regiões porque são as que fazem sentido fisicamente para este problema.)
Passo 2
Ideia física e simetria (sem resolver ainda).
A distribuição depende somente de r. Por simetria cilíndrica o campo elétrico também será radial e só dependerá de r. Ou seja, podemos escrever
\vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor radial.
Para explorar essa simetria usamos a Lei de Gauss (Forma integral):
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana escolhida e \varepsilon_{0} é a constante elétrica do vácuo.
Escolhemos superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Nessa superfície o campo tem magnitude constante sobre a superfície lateral e é perpendicular à mesma; o fluxo pelas tampas é nulo pois \vec{E} é radial. Assim o fluxo é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
Passo 3
Região r<a (dentro do vazio central).
A casca só ocupa a\le r'\le b. Se r<a não há carga dentro da superfície gaussiana, logo
Q_{\text{enc}}=0.
Aplicando Gauss:
E(r)\, (2\pi r L)=\dfrac{0}{\varepsilon_{0}}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Conclusão: dentro do buraco central o campo é nulo:
\vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }r<a.
Passo 4
Região a<r<b (dentro do material da casca): cálculo de Q_{\text{enc}}.
Para um cilindro de raio r e comprimento L a carga encerrada é a integral do densidade sobre o volume entre r'=a e r'=r:
Região r>b (fora da casca): calcular a carga total e o campo.
A carga total contida na casca (entre a e b) é obtida repetindo a integral até r'=b:
Q_{\text{tot}}=2\pi L \rho_{0}\!\left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)\right).
Para um cilindro gaussiano de raio r>b a Lei de Gauss dá
E(r)\,(2\pi r L)=\dfrac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}.
Isolando E(r):
E(r)=\dfrac{1}{2\pi r L\varepsilon_{0}}\;Q_{\text{tot}} =\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)\right).
Vetorialmente:
\vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}\quad\text{para }r>b.
Passo 7
Comentários finais e checagens rápidas.
Continuidade no interior: ao fazer r\to a^{+} na expressão para a<r<b encontra-se Q_{\text{enc}}\to 0, portanto E\to 0, compatível com E=0 para r<a (sem singularidade).
Dimensão física: as expressões têm dependência 1/r fora da casca (como esperado para campo de uma carga linear efetiva) e dependência mais complexa dentro do material por causa da distribuição radial de carga.
Direção: se \rho_{0}>0 o campo aponta radialmente para fora (\hat{r}); se \rho_{0}<0 aponta para dentro (-\hat{r}).