Uma casca cilíndrica de raio interno a e raio externo b tem uma densidade volumétrica de carga dada por \rho(r)=\rho_{0}\left(\overline{1-a^{2} / r^{2}}\right), onde \rho_{0} é uma constante e r é a distância ao eixo central da casca. Determine o campo elétrico \vec{E} interior e exterior ao material da casca.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Uma casca cilíndrica, coaxial com o eixo z, com raio interno a e raio externo b.
  • Densidade volumétrica de carga dependente apenas da distância radial r ao eixo:
\rho(r)=\rho_{0}\Bigl(1-\dfrac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr),
onde \rho_{0} é constante.
O que se pede:
  • Determinar o campo elétrico \vec{E} nas regiões relevantes: interior ao vazio central ( r<a), dentro do material da casca ( a<r<b) e exterior à casca ( r>b). (Vou apresentar as três regiões porque são as que fazem sentido fisicamente para este problema.)

Passo 2

Ideia física e simetria (sem resolver ainda).
  • A distribuição depende somente de r. Por simetria cilíndrica o campo elétrico também será radial e só dependerá de r. Ou seja, podemos escrever
\vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor radial.
  • Para explorar essa simetria usamos a Lei de Gauss (Forma integral):
\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície gaussiana escolhida e \varepsilon_{0} é a constante elétrica do vácuo.
  • Escolhemos superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. Nessa superfície o campo tem magnitude constante sobre a superfície lateral e é perpendicular à mesma; o fluxo pelas tampas é nulo pois \vec{E} é radial. Assim o fluxo é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).

Passo 3

Região r<a (dentro do vazio central).
  • A casca só ocupa a\le r'\le b. Se r<a não há carga dentro da superfície gaussiana, logo
Q_{\text{enc}}=0.
  • Aplicando Gauss:
E(r)\, (2\pi r L)=\dfrac{0}{\varepsilon_{0}}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
  • Conclusão: dentro do buraco central o campo é nulo:
\vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }r<a.

Passo 4

Região a<r<b (dentro do material da casca): cálculo de Q_{\text{enc}}.
  • Para um cilindro de raio r e comprimento L a carga encerrada é a integral do densidade sobre o volume entre r'=a e r'=r:
Q_{\text{enc}}= \int_{V}\rho(r')\,dV = \int_{z=0}^{L}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r'=a}^{r} \rho(r')\, r'\,dr'\,d\theta\,dz.
  • Integrando sobre \theta e z (dão 2\pi L) obtemos
Q_{\text{enc}} = 2\pi L \int_{a}^{r} \rho_{0}\Bigl(1-\dfrac{a^{2}}{r'^{2}}\Bigr) r'\,dr'.
  • Simplificar o integrando:
\rho_{0}\Bigl(1-\dfrac{a^{2}}{r'^{2}}\Bigr) r' = \rho_{0}\Bigl(r' - \dfrac{a^{2}}{r'}\Bigr).
  • Calcular a integral:
\int_{a}^{r}\Bigl(r' - \dfrac{a^{2}}{r'}\Bigr) dr' = \left[\dfrac{r'^{2}}{2} - a^{2}\ln r'\right]_{a}^{r} = \dfrac{r^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{r}{a}\Bigr).
  • Portanto
Q_{\text{enc}} = 2\pi L \rho_{0}\!\left(\dfrac{r^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{r}{a}\Bigr)\right).

Passo 5

Campo elétrico na região a<r<b a partir de Gauss.
  • Usando a Lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r L)=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Substituindo Q_{\text{enc}}:
E(r)\,(2\pi r L)=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\;2\pi L \rho_{0}\!\left(\dfrac{r^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{r}{a}\Bigr)\right).
  • Cancelando 2\pi L e isolando E(r):
E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{r^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{r}{a}\Bigr)\right).
  • Podemos reescrever de forma mais explícita:
E(r)=\dfrac{\rho_{0}}{2\varepsilon_{0}}\Bigl(r-\dfrac{a^{2}}{r}\Bigr)-\dfrac{\rho_{0}a^{2}}{\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r}{a}\right)}{r}.
  • Vetorialmente:
\vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}\quad\text{para }a<r<b.

Passo 6

Região r>b (fora da casca): calcular a carga total e o campo.
  • A carga total contida na casca (entre a e b) é obtida repetindo a integral até r'=b:
Q_{\text{tot}}=2\pi L \rho_{0}\!\left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)\right).
  • Para um cilindro gaussiano de raio r>b a Lei de Gauss dá
E(r)\,(2\pi r L)=\dfrac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\dfrac{1}{2\pi r L\varepsilon_{0}}\;Q_{\text{tot}} =\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2} - a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)\right).
  • Vetorialmente:
\vec{E}(r)=E(r)\,\hat{r}\quad\text{para }r>b.

Passo 7

Comentários finais e checagens rápidas.
  • Continuidade no interior: ao fazer r\to a^{+} na expressão para a<r<b encontra-se Q_{\text{enc}}\to 0, portanto E\to 0, compatível com E=0 para r<a (sem singularidade).
  • Dimensão física: as expressões têm dependência 1/r fora da casca (como esperado para campo de uma carga linear efetiva) e dependência mais complexa dentro do material por causa da distribuição radial de carga.
  • Direção: se \rho_{0}>0 o campo aponta radialmente para fora ( \hat{r}); se \rho_{0}<0 aponta para dentro ( -\hat{r}).

Resposta

\vec{E}(r)=\vec{0}\quad\text{para }r<a.
\displaystyle \vec{E}(r)=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{r^{2}-a^{2}}{2}-a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{r}{a}\Bigr)\right)\hat{r}\quad\text{para }a<r<b.
\displaystyle \vec{E}(r)=\dfrac{\rho_{0}}{\varepsilon_{0}}\;\dfrac{1}{r}\!\left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2}-a^{2}\ln\!\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)\right)\hat{r}\quad\text{para }r>b.

Exercícios relacionados