Questão 1: Uma catapulta lança um projétil com velocidade inicial de 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e angulo 30^{\circ} à altura de 10 m do solo. O projétil atinge o solo e o vetor velocidade faz um ângulo 59^{\circ} \mathrm{com} o solo. Considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Calcule e escreva os vetores velocidade inicial \overrightarrow{v_{0}} \mathrm{e} velocidade final \vec{v}_{f}.
b) (1pts) Escreva as equações horárias de posição e velocidade para o projétil na forma vetorial, \vec{r}(t) e \vec{v}(t).
c) (1pts) Calcule o Tempo de permanência do projétil no ar.
d) (1pts) Calcule a distância alcançada.
e) (1pts) Qual é a posição ( x, y ) do projétil no primeiro segundo do movimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações dadas:
  • Velocidade inicial em módulo: 10{,}0\\ \text{m/s}.
  • Direção inicial: ângulo com o solo \,30^\circ.
  • Altura inicial acima do solo: 10\\ \text{m} (ou seja, y_0=10\\ \text{m}).
  • A aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 (verticamente para baixo).
  • Ao atingir o solo, o vetor velocidade faz um ângulo \,59^\circ com o solo (isto é, o vetor de impacto está apontando para baixo formando \,59^\circ abaixo da horizontal).
O que o enunciado pergunta:
a) Calcular e escrever os vetores velocidade inicial \overrightarrow{v_0} e velocidade final \vec{v}_f (componentes e, quando conveniente, módulo/ângulo).
b) Escrever as equações horárias vetoriais \vec{r}(t) e \vec{v}(t).
c) Calcular o tempo total de permanência no ar.
d) Calcular a distância horizontal alcançada (alcance).
e) Calcular a posição (x,y) do projétil no instante t=1\\ \text{s}.

Passo 2

Decomposição da velocidade inicial em componentes (aula curta sobre decompor vetores).
  • Quando se tem uma velocidade v_0 com ângulo \theta em relação à horizontal, as componentes são: v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta,onde v_{0x} é a componente horizontal (positiva para a direita) e v_{0y} a componente vertical (positiva para cima). Isso vem de projetar o vetor nas direções x e y usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo formado.
Aplicando ao caso:
  • v_0=10{,}0\\ \text{m/s} e \theta=30^\circ. Logo v_{0x}=10\cos30^\circ=10\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=5\sqrt{3}\\ \text{m/s},
v_{0y}=10\sin30^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5{,}0\\ \text{m/s}.
  • Escrevendo o vetor velocidade inicial: \vec{v_0}=\big\langle 5\sqrt{3},\;5\big\rangle\\ \text{m/s}\approx\big\langle 8{,}660,\;5{,}000\big\rangle\\ \text{m/s}.
(Essa é a resposta da parte (a) para \vec{v_0}.)

Passo 3

Equações horárias vetoriais (aula curta sobre movimento no plano sem resistência do ar).
  • No lançamento oblíquo sem resistência do ar, a aceleração é \vec{a}=\langle 0,\,-g\rangle. Assim: \vec{v}(t)=\vec{v_0}+\vec{a}\,t=\big\langle v_{0x},\;v_{0y}-g t\big\rangle.
  • A posição (tomando origem x=0 na catapulta e y=0 no solo; altura inicial y_0=10\\ \text{m}) é: \vec{r}(t)=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\tfrac{1}{2}\vec{a}\,t^2 =\big\langle v_{0x}t,\;y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2\big\rangle.
  • Substituindo os valores obtidos ( v_{0x}=5\sqrt{3}, v_{0y}=5, y_0=10): \vec{v}(t)=\big\langle 5\sqrt{3},\;5-9{,}8\,t\big\rangle\\ \text{m/s},
\vec{r}(t)=\big\langle 5\sqrt{3}\,t,\;10+5t-4{,}9\,t^2\big\rangle\\ \text{m}.
(Isto responde a parte (b).)

Passo 4

Tempo de voo (resolvendo a equação vertical; aula curta sobre resolver para o instante em que y=0).
  • A condição de impacto no solo é y(t)=0. Da componente vertical de \vec{r}(t): 0=10+5t-4{,}9t^2.
  • Rearranjando para a forma padrão da quadrática: 4{,}9t^2-5t-10=0.
  • Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): t=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot4{,}9\cdot(-10)}}{2\cdot4{,}9} =\frac{5\pm\sqrt{25+196}}{9{,}8} =\frac{5\pm\sqrt{221}}{9{,}8}.
  • A raiz positiva (tempo físico) é t_{\text{voo}}=\frac{5+\sqrt{221}}{9{,}8}\approx\frac{5+14{,}866069}{9{,}8} \approx2{,}028\\ \text{s}.
  • Conclusão: o tempo de permanência no ar é \displaystyle t_{\text{voo}}\approx2{,}028\\ \text{s}.
    (Essa é a resposta da parte (c).)

Passo 5

Velocidade final \vec{v}_f no instante de impacto (usar \vec{v}(t) em t_{\text{voo}}; aula sobre conservação da componente horizontal e cálculo da componente vertical final).
  • A componente horizontal permanece constante: v_{fx}=v_{0x}=5\sqrt{3}\approx8{,}660\\ \text{m/s}.
  • A componente vertical no impacto: v_{fy}=v_{0y}-g t_{\text{voo}} =5-9{,}8\cdot(2{,}028)\approx5-19{,}102\approx-14{,}074\\ \text{m/s}.(O sinal negativo indica que o vetor está apontando para baixo.)
  • O vetor velocidade final: \vec{v}_f=\big\langle 5\sqrt{3},\;-14{,}074\big\rangle\\ \text{m/s}\approx\big\langle 8{,}660,\;-14{,}074\big\rangle\\ \text{m/s}.
  • Módulo e ângulo (opcional, para intuir): |\vec{v}_f|=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+(-14{,}074)^2}\approx\sqrt{75+198{,}08}\approx16{,}52\\ \text{m/s},
\text{ângulo abaixo da horizontal }=\arctan\!\left(\frac{14{,}074}{5\sqrt{3}}\right)\approx58{,}7^\circ,â
que é muito próximo do \,59^\circ dado no enunciado (pequenas diferenças são devidas a arredondamentos).
(Isto responde a parte (a) também para \vec{v}_f.)

Passo 6

Distância alcançada (alcance horizontal) — usar x(t)=v_{0x}t.
  • Como v_{0x}=5\sqrt{3} e t_{\text{voo}}\approx2{,}028\\ \text{s}: x_{\text{alcance}}=5\sqrt{3}\cdot t_{\text{voo}} \approx8{,}660254\cdot2{,}028\approx17{,}563\\ \text{m}.
  • Conclusão: a distância horizontal alcançada é aproximadamente 17{,}56\\ \text{m}.
    (Essa é a resposta da parte (d).)

Passo 7

Posição no instante t=1{,}0\\ \text{s} (usar \vec{r}(t); aula curta sobre substituição direta).
  • Com \vec{r}(t)=\big\langle 5\sqrt{3}\,t,\;10+5t-4{,}9t^2\big\rangle: x(1)=5\sqrt{3}\cdot1\approx8{,}660\\ \text{m},
y(1)=10+5\cdot1-4{,}9\cdot1^2=10+5-4{,}9=10{,}1\\ \text{m}.
  • Portanto a posição no primeiro segundo é \big(8{,}660\\ \text{m},\;10{,}1\\ \text{m}\big).
    (Essa é a resposta da parte (e).)

Resposta

a) \displaystyle \vec{v_0}=\big\langle 5\sqrt{3},\;5\big\rangle\\ \text{m/s}\approx\big\langle 8{,}660,\;5{,}000\big\rangle\\ \text{m/s}
a) \displaystyle \vec{v_f}=\big\langle 5\sqrt{3},\;-14{,}074\big\rangle\\ \text{m/s}\approx\big\langle 8{,}660,\;-14{,}074\big\rangle\\ \text{m/s}
b) \displaystyle \vec{v}(t)=\big\langle 5\sqrt{3},\;5-9{,}8\,t\big\rangle\\ \text{m/s}
b) \displaystyle \vec{r}(t)=\big\langle 5\sqrt{3}\,t,\;10+5t-4{,}9t^2\big\rangle\\ \text{m}
c) \displaystyle t_{\text{voo}}\approx2{,}028\\ \text{s}
d) \displaystyle x_{\text{alcance}}\approx17{,}56\\ \text{m}
e) \displaystyle (x(1),y(1))\approx(8{,}660\\ \text{m},\;10{,}1\\ \text{m})

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