Se o campo elétrico em uma região é dado, em coordenadas cilíndricas, pela expressão
E(r)=A r+B sen theta cos phi phir,
onde A e B são constantes, qual é a densidade de carga? Resp.: rho=epsilon0(A-B sen phir^2)

Passo 1

O enunciado diz que, em coordenadas esféricas (apesar de mencionar “cilíndricas”, a dependência em theta e phi e o uso de hat r,hatphi indicam coordenadas esféricas), o campo elétrico é
vec E(r,theta,phi)=A,hat r + B,sinthetacosphi,hatphir!,
com A e B constantes, e pede a densidade de carga rho. Vamos usar a lei de Gauss diferencial, ou seja
rho=epsilon0,nabla!cdot!vec E,
e para isso precisamos lembrar a expressão de nabla!cdot!vec V em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,theta,phi), para um campo
vec V=Vr,hat r + Vtheta,hattheta + Vphi,hatphi, vale
nabla!cdot!vec V =1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) +1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Vthetar) +1rsinthetapartial Vphipartialphi

Passo 3

Identificamos em nosso campo
Vr=Ar, Vtheta=0, Vphi=B,sinthetacosphir
O termo radial é
1r^2partialpartial rl(r^2Vrr) =1r^2partialpartial rl(r^2cdottfracArr) =1r^2partialpartial r(A,r) =Ar^2

Passo 4

O termo polar (aquele com Vtheta) é nulo porque Vtheta=0.

Passo 5

O termo azimutal é
1rsinthetapartial Vphipartialphi =1rsinthetapartialpartialphi!l(Bsinthetacosphirr) =1rsinthetal(Bsintheta,( -sinphi)rr) =-B,sinphir^2

Passo 6

Somando os termos, obtemos
nabla!cdot!vec E =Ar^2-B,sinphir^2 =A - B,sinphir^2
Então, pela lei de Gauss diferencial,
rho=epsilon0,nabla!cdot!vec E =epsilon0;A - B,sinphir^2

Resposta

rho=epsilon0,A - B,sinphir^2

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