Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
lim x pi |x-pi|x-pi

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
limxtopi lvert x-pi rvertx-pi
sem usar a regra de L’Hôpital, mas usando propriedades de limites e o conceito de valor absoluto. Vamos recorrer aos limites laterais e à definição
lvert u rvert = u, & se u >= 0, -u, & se u < 0

Passo 2

Primeiro identificamos como se comporta lvert x-pirvert quando x se aproxima de pi pela esquerda ( x<pi) e pela direita ( x>pi).
  • Se x<pi, então x-pi<0 e |x-pi| = -(x-pi)
  • Se x>pi, então x-pi>0 e |x-pi| = x-pi

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda ( xtopi^-).
Para x<pi,
|x-pi|x-pi =-(x-pi)x-pi =-1
Como essa expressão é constante igual a -1 numa vizinhança de pi pela esquerda, temos
limxtopi^-|x-pi|x-pi = -1

Passo 4

Calcular o limite pela direita ( xtopi^+).
Para x>pi,
|x-pi|x-pi =x-pix-pi =1
Logo,
limxtopi^+|x-pi|x-pi = 1

Passo 5

Como
limxtopi^-|x-pi|x-pi = -1 e limxtopi^+|x-pi|x-pi = 1,
os limites laterais são diferentes, o que implica que o limite geral não existe.

Resposta

limxtopi^-|x-pi|x-pi = -1, limxtopi^+|x-pi|x-pi = 1, limxtopi|x-pi|x-pi não existe ã

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