Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar
sem usar a regra de L’Hôpital, mas usando propriedades de limites e o conceito de valor absoluto. Vamos recorrer aos limites laterais e à definição
Passo 2
Primeiro identificamos como se comporta
lvert x-pirvert quando
x se aproxima de
pi pela esquerda (
x<pi ) e pela direita (
x>pi ).
- Se
, entãox<pi ex-pi<0 |x-pi| = -(x-pi) - Se
, entãox>pi ex-pi>0 |x-pi| = x-pi
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda (
xtopi^- ).
Parax<pi ,
Para
Como essa expressão é constante igual a
-1 numa vizinhança de
pi pela esquerda, temos
Passo 4
Calcular o limite pela direita (
xtopi^+ ).
Parax>pi ,
Para
Logo,
Passo 5
Como
os limites laterais são diferentes, o que implica que o limite geral não existe.