Resolva cada inequação abaixo e represente seu conjunto solução no círculo trigonométrico:
sin (2 x) <=-raiz32

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
sin(2x)<= -raiz32
ou seja, encontrar todos os x que tornam o valor do seno de 2x menor ou igual a -raiz3/2. Vamos usar o conhecimento de valores notáveis do seno, identificar os pontos em que sintheta=-raiz3/2 e, em seguida, levar em conta a periodicidade de 2x para obter a solução geral. Por fim, interpretamos geometricamente esses arcos no círculo trigonométrico de x.

Passo 2

Defina theta=2x. Primeiro achamos as soluções de
sintheta=-raiz32
no intervalo principal 0<=theta<2pi. Sabemos que
sintheta=-raiz32Longrightarrow theta= 4pi3 ou theta=5pi3
Como queremos sintheta<= -raiz3/2, ou seja valores do seno abaixo desse nível, isso ocorre entre essas duas soluções no mesmo período. Assim, a solução para theta é
thetain l[4pi3+2pi k;,;5pi3+2pi kr], kinZ

Passo 3

Voltando a x, temos 2x=theta. Logo
2xin l[4pi3+2pi k;,;5pi3+2pi kr]
e dividindo tudo por 2:
xin l[4pi3cdot12 +pi k;,;5pi3cdot12 +pi kr] =l[2pi3+kpi;,;5pi6+kpir], kinZ

Passo 4

Para representar no círculo trigonométrico usual (período 2pi), basta tomar k=0 e k=1, obtendo em [0,2pi) os arcos
l[tfrac2pi3,,tfrac5pi6r]e l[tfrac2pi3+pi,,tfrac5pi6+pir] =l[tfrac2pi3,,tfrac5pi6r]cupl[tfrac5pi3,,tfrac11pi6r]
Ou seja, em cada volta de 360^circ aparecem dois arcos de 30^circ: um de 120^circ a 150^circ e outro de 300^circ a 330^circ.

Passo 5

No círculo trigonométrico, marcamos os arcos
– de tfrac2pi3 até tfrac5pi6
– de tfrac5pi3 até tfrac11pi6
estes arcos repetidos cada 2pi.

Resposta

boxedxin cupkinZl[tfrac2pi3+kpi,;tfrac5pi6+kpir]

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