A massa da Terra é de 5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg} e o seu raio é de 6370 km . O raio da Lua é de 1738 km . A aceleração da gravidade na superfície da Lua é 1,62 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual a razão entre a densidade média da Lua e a da Terra?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a densidade média da Lua e a da Terra. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa da Terra: M_{\rm T} = 5,97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da Terra: R_{\rm T} = 6370\\ \mathrm{km}.
  • Raio da Lua: R_{\rm L} = 1738\\ \mathrm{km}.
  • Aceleração da gravidade na superfície da Lua: g_{\rm L} = 1,62\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\rho_{\rm L}}{\rho_{\rm T}}, onde \rho é a densidade média (massa sobre volume) de cada corpo.

Passo 2

Vamos escrever fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Densidade média de um corpo esférico: \displaystyle \rho=\frac{M}{V}, onde M é a massa e V o volume.
  • Volume de uma esfera de raio R: \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • A aceleração gravitacional na superfície de um corpo (lei da gravitação de Newton): \displaystyle g=\frac{G\,M}{R^{2}}, onde G é a constante gravitacional universal e M e R são massa e raio do corpo.
Agora vamos combinar essas fórmulas para obter uma expressão útil para a densidade média em termos de g e R. Substituindo M=\dfrac{gR^{2}}{G} em \rho=M/V:
\rho=\frac{\dfrac{gR^{2}}{G}}{\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}
Simplificando:
\rho=\frac{3g}{4\pi G R}.
Comentário didático: essa fórmula é prática porque relaciona a densidade média de um corpo esférico diretamente com a gravidade na superfície e o raio — não precisa conhecer a massa diretamente se se souber g e R.

Passo 3

Usando a expressão anterior, a razão entre as densidades da Lua e da Terra é:
\frac{\rho_{\rm L}}{\rho_{\rm T}} = \frac{\dfrac{3g_{\rm L}}{4\pi G R_{\rm L}}}{\dfrac{3g_{\rm T}}{4\pi G R_{\rm T}}} = \frac{g_{\rm L}}{g_{\rm T}}\cdot\frac{R_{\rm T}}{R_{\rm L}}.
Ou seja, a razão simplifica para \displaystyle \frac{\rho_{\rm L}}{\rho_{\rm T}}=\frac{g_{\rm L}}{g_{\rm T}}\cdot\frac{R_{\rm T}}{R_{\rm L}}. Nota: G e o fator \tfrac{3}{4\pi} cancelam — por isso não precisamos do valor absoluto de G para essa razão, mas precisamos de g_{\rm T}.
Podemos obter g_{\rm T} (aceleração grav. na superfície da Terra) a partir dos dados do enunciado usando g_{\rm T}=\dfrac{G M_{\rm T}}{R_{\rm T}^{2}}. Usarei G=6,674\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}} (valor padrão).
Converter raios para metros:
R_{\rm T}=6370\\ \mathrm{km}=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m}, \qquad R_{\rm L}=1738\\ \mathrm{km}=1,738\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Calcular g_{\rm T}:
G M_{\rm T} = \left(6,674\times10^{-11}\right)\left(5,97\times10^{24}\right) =(6,674\cdot5,97)\times10^{13}\approx39,84\times10^{13}=3,984\times10^{14}.
R_{\rm T}^{2}=(6,37\times10^{6})^{2}=40,5769\times10^{12}=4,05769\times10^{13}.
g_{\rm T}=\frac{G M_{\rm T}}{R_{\rm T}^{2}} \approx\frac{3,984\times10^{14}}{4,05769\times10^{13}} \approx9,815\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Comentário: esse valor confere com o valor conhecido de g na Terra (aprox. 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 4

Calcular a razão de raios:
\frac{R_{\rm T}}{R_{\rm L}}=\frac{6,37\times10^{6}}{1,738\times10^{6}}=\frac{6,37}{1,738}\approx3,663.
Calcular a razão das gravidades:
\frac{g_{\rm L}}{g_{\rm T}}=\frac{1,62}{9,815}\approx0,1651.
Agora multiplicar os dois fatores para obter a razão das densidades:
\frac{\rho_{\rm L}}{\rho_{\rm T}}=\left(0,1651\right)\left(3,663\right)\approx0,6047\approx0,605.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (didática):
  • Resultado: \rho_{\rm L} é cerca de 0{,}605 vezes \rho_{\rm T}, ou seja, a Lua tem densidade média aproximadamente 60{,}5\% da densidade média da Terra.
  • Como verificação aproximada: a densidade média da Terra é cerca de 5515\\ \mathrm{kg/m^{3}}; multiplicando por 0{,}605 obtém-se cerca de 3340\\ \mathrm{kg/m^{3}}, que é compatível com o valor conhecido para a densidade média lunar.

Resposta

\;0,605

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