A massa da Terra é de
e o seu raio é de 6370 km . O raio da Lua é de 1738 km . A aceleração da gravidade na superfície da Lua é
. Qual a razão entre a densidade média da Lua e a da Terra?
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a densidade média da Lua e a da Terra. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Massa da Terra:
. - Raio da Terra:
. - Raio da Lua:
. - Aceleração da gravidade na superfície da Lua:
.
O que se pede:
- Calcular
, onde é a densidade média (massa sobre volume) de cada corpo.
Passo 2
Vamos escrever fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada termo):
- Densidade média de um corpo esférico:
, onde é a massa e o volume. - Volume de uma esfera de raio
: . - A aceleração gravitacional na superfície de um corpo (lei da gravitação de Newton):
, onde é a constante gravitacional universal e e são massa e raio do corpo.
Agora vamos combinar essas fórmulas para obter uma expressão útil para a densidade média em termos de
e
. Substituindo
em
:
Simplificando:
Comentário didático: essa fórmula é prática porque relaciona a densidade média de um corpo esférico diretamente com a gravidade na superfície e o raio — não precisa conhecer a massa diretamente se se souber
e
.
Passo 3
Usando a expressão anterior, a razão entre as densidades da Lua e da Terra é:
Ou seja, a razão simplifica para
. Nota:
e o fator
cancelam — por isso não precisamos do valor absoluto de
para essa razão, mas precisamos de
.
Podemos obter
(aceleração grav. na superfície da Terra) a partir dos dados do enunciado usando
. Usarei
(valor padrão).
Converter raios para metros:
Calcular
:
Comentário: esse valor confere com o valor conhecido de
na Terra (aprox.
).
Passo 4
Calcular a razão de raios:
Calcular a razão das gravidades:
Agora multiplicar os dois fatores para obter a razão das densidades:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (didática):
- Resultado:
é cerca de vezes , ou seja, a Lua tem densidade média aproximadamente da densidade média da Terra. - Como verificação aproximada: a densidade média da Terra é cerca de
; multiplicando por obtém-se cerca de , que é compatível com o valor conhecido para a densidade média lunar.