Um campo elétrico uniforme de 30 \mathrm{~N} / \mathrm{C} é perpendicular à face esquerda de uma grande placa neutra feita de material condutor. As densidades superficiais de carga das faces esquerda e direita da placa são, em \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, respectivamente,
Escolha uma opção:
◯ a. -2,7 \times 10^{-9} e 2,7 \times 10^{-9}
◯ b. -5,3 \times 10^{-9} \mathrm{e}+5,3 \times 10^{-9}
◯ C. \quad 0 e 0
◯ d. \quad+2,7 \times 10^{-9} e -2,7 \times 10^{-9}
◯ e. \quad+5,3 \times 10^{-9} e -5,3 \times 10^{-9}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as densidades superficiais de carga nas duas faces da placa (esquerda e direita), em \mathrm{C}/\mathrm{m}^2:
  • Campo elétrico externo uniforme: \,E=30\\ \mathrm{N/C}, perpendicular à face esquerda da placa.
  • A placa é grande, neutra e feita de material condutor.
    O que é pedido: os valores (com sinais) das densidades superficiais de carga nas faces esquerda e direita da placa, respectivamente.

Passo 2

Conceitos importantes (aula rápida, passo a passo):
  1. Condutor no equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do condutor é zero. Isso é fundamental: qualquer campo interno faria cargas livres moverem-se até anulá-lo.
  2. Em um condutor neutro sujeito a um campo externo, surgem cargas induzidas nas superfícies para anular o campo dentro do metal. Essas cargas ficam apenas nas superfícies.
  3. Campo de uma lâmina carregada infinitamente extensa: uma folha infinita com densidade superficial \sigma produz, em cada lado, um campo de módulo
\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0},
direcionado para fora da folha se \sigma>0 e para dentro se \sigma<0. Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Vou usar esses três pontos para montar as equações que determinam as densidades nas faces.

Passo 3

Definição de incógnitas e condições:
  • Seja \sigma_L a densidade superficial na face esquerda e \sigma_R a densidade na face direita (unidades \mathrm{C}/\mathrm{m}^2). O enunciado diz que a placa é neutra, então a carga total é zero; para área uniforme isso implica
\sigma_L+\sigma_R=0. \tag{1}
  • Campo dentro do condutor deve ser zero. O campo total dentro (entre as faces) é a soma do campo externo E e dos campos produzidos pelas lâminas de carga das duas faces. Usando a convenção de sinais com o eixo positivo apontando da esquerda para a direita, o campo produzido pela face esquerda, no interior (lado direito da face esquerda), tem componente +\dfrac{\sigma_L}{2\varepsilon_0} (direção para a direita se \sigma_L>0); o campo produzido pela face direita, no interior (lado esquerdo da face direita), tem componente -\dfrac{\sigma_R}{2\varepsilon_0} (é para a esquerda se \sigma_R>0). Somando tudo e impondo que o campo resultante dentro seja zero:
E+\frac{\sigma_L}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_R}{2\varepsilon_0}=0. \tag{2}
Observação: E aparece porque é o campo externo aplicado (presente na ausência da placa).

Passo 4

Resolver o sistema formado por (1) e (2).
Da equação (1) temos \sigma_R=-\sigma_L. Substituindo em (2):
E+\frac{\sigma_L}{2\varepsilon_0}-\frac{(-\sigma_L)}{2\varepsilon_0}=E+\frac{\sigma_L}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_L}{2\varepsilon_0} =E+\frac{\sigma_L}{\varepsilon_0}=0.
Logo
\sigma_L=-\varepsilon_0\,E, \qquad \sigma_R=+\varepsilon_0\,E.
Interpretação física dos sinais: se o campo externo aponta da esquerda para a direita, a face esquerda fica carregada negativamente (para atrair linhas de campo) e a face direita fica positiva.

Passo 5

Cálculo numérico (mostrando as contas para fazer à mão na prova):
Usando \varepsilon_0\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} e E=30\\ \mathrm{N/C},
\sigma_L=-\varepsilon_0 E = -(8{,}85\times10^{-12})\times 30 = -2{,}655\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.
Arredondando razoavelmente em duas casas significativas:
\sigma_L\approx -2{,}7\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}, \qquad \sigma_R\approx +2{,}7\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas:
  • Das opções dadas, a única que tem o sinal correto (face esquerda negativa e face direita positiva) é a alternativa (a) \,-2{,}7\times10^{-9} e +2{,}7\times10^{-9}. Observa-se que o valor calculado teoricamente é \pm2{,}7\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}, portanto há um fator de 10 de diferença em potência de dez entre o cálculo com \varepsilon_0 padrão e as alternativas impressas. Considerando que apenas uma alternativa pode estar correta e que a (a) coincide em sinais e em ordem de grandeza relativa (apenas um possível erro tipográfico na potência de dez nas alternativas), a alternativa escolhida é a (a).

Resposta

-2,7\times10^{-9} e 2,7\times10^{-9}

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