Um corpo inicialmente em repouso percorre uma distância h em um tempo t. Neste caso, a aceleração é dada por
a=\frac{2 h}{t^{2}}
Medidas experimentais de h e t fornecem
\begin{aligned} & h=(0.51 \pm 0.01) \mathrm{cm} \\\ & t=(0.291 \pm 0.003) \mathrm{s} \end{aligned}
(a) Use as medidas de h e t e suas respectivas incertezas \Delta h e \Delta t para calcular o valor de a e também sua incerteza \Delta a. Anote seu resultado abaixo. Lembre de usar apenas um algarismo significativo para a incerteza e de arredondar o valor de a de modo que a e \Delta a tenham o mesmo número de casas decimais.
\mathbf{R}: a=(\square \pm \square) \mathbf{c m} / \mathbf{s}^{2}


(b) O mesmo experimento é repetido com mais cuidado e com equipamentos melhores. A aceleração obtida é (12.142 \pm 0.007) \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}. Esses dois valores de a são consistentes entre si? R :

(9) Dica: Duas medidas x \pm \Delta x e y \pm \Delta y são consideradas consistentes quando há alguma intersecção entre os intervalos [x-\Delta x, x+\Delta x] e [y-\Delta y, y+\Delta y].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a aceleração a usando os valores medidos de h e t e obter a incerteza \Delta a correspondente.
  • (b) Verificar se o valor obtido em (a) é consistente com a segunda medida (12,142\pm0,007)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • h=(0,51\pm0,01)\\ \mathrm{cm}.
  • t=(0,291\pm0,003)\\ \mathrm{s}.
  • Relação entre as grandezas: a=\frac{2h}{t^{2}}.

Passo 2

Calcular o valor nominal de a substituindo os valores centrais de h e t.
Primeiro calcule t^{2}:
t^{2} = (0,291)^{2} = 0,084681.
Agora calcule 2h:
2h = 2\cdot 0,51 = 1,02.
Finalmente,
a = \frac{2h}{t^{2}} = \frac{1,02}{0,084681}\approx 12,046\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.
Aqui foi mostrado passo a passo como obter a partir dos números fornecidos.

Passo 3

Explicar como propagar incertezas (aula curtinha e prática).
Quando uma quantidade a depende de várias medições independentes (aqui h e t), a incerteza combinada em a é obtida usando a soma quadrática das contribuições das incertezas parciais:
(\Delta a)^{2}=\left(\frac{\partial a}{\partial h}\,\Delta h\right)^{2}+\left(\frac{\partial a}{\partial t}\,\Delta t\right)^{2}.
Isto vem do desenvolvimento em série de Taylor de a(h,t) e da hipótese de erros independentes e pequenos. Em palavras: calcular a sensibilidade de a a cada variável (derivada parcial), multiplicar pela incerteza daquela variável e combinar em quadratura.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de a=\dfrac{2h}{t^{2}} e avaliar numericamente as contribuições.
Derivadas:
\frac{\partial a}{\partial h}=\frac{2}{t^{2}},\qquad \frac{\partial a}{\partial t}=-\frac{4h}{t^{3}}.
Explicando: a primeira diz quanto a muda por unidade de h mantendo t fixo; a segunda diz quanto a muda por unidade de t mantendo h fixo (o sinal negativo só indica direção da mudança).
Avaliar numericamente usando t^{2}=0,084681 e t^{3}=t^{2}\cdot t=0,084681\cdot0,291=0,024642 (valores arredondados conforme cálculo):
\frac{\partial a}{\partial h}=\frac{2}{0,084681}\approx 23,621\\ \mathrm{s}^{-2},
\left|\frac{\partial a}{\partial t}\right|=\frac{4h}{t^{3}}=\frac{4\cdot 0,51}{0,024642}\approx 82,814\\ \mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-3}.
Agora as contribuições às incertezas absolutas:
\text{contribuição de }h:\quad \left(\frac{\partial a}{\partial h}\Delta h\right)=23,621\cdot 0,01\approx 0,2362\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2},çã
\text{contribuição de }t:\quad \left(\frac{\partial a}{\partial t}\Delta t\right)=82,814\cdot 0,003\approx 0,2484\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.çã
(Nota: usei \Delta h=0,01\\ \mathrm{cm} e \Delta t=0,003\\ \mathrm{s} conforme dados.)

Passo 5

Combinar as contribuições em quadratura para obter \Delta a.
(\Delta a)^{2}=(0,2362)^{2}+(0,2484)^{2}=0,0558+0,0617\approx 0,1175,
\Delta a \approx \sqrt{0,1175}\approx 0,343\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.
Então o valor não arredondado é a\approx 12,046\pm0,343\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Arredondamento conforme instrução (apenas um algarismo significativo para a incerteza e alinhar casas decimais).
  • A incerteza \Delta a\approx0,343 arredondada para um algarismo significativo fica \Delta a=0,3\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.
  • Deve-se então arredondar a para a mesma casa decimal (uma casa decimal, décimos): a=12,046 arredonda para a=12,0.
Resultado final do item (a):
a=(12,0\pm0,3)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 7

Item (b): comparar com a segunda medida (12,142\pm0,007)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2} verificando interseção de intervalos (dica do enunciado).
Intervalos:
  • Nosso resultado: [12,0-0,3,\;12,0+0,3]=[11,7,\;12,3].
  • Segunda medida: [12,142-0,007,\;12,142+0,007]=[12,135,\;12,149].
Como [12,135,12,149] está contido dentro de [11,7,12,3], os intervalos se intersectam — portanto as medidas são consistentes entre si.

Resposta

\displaystyle a=(12,0\pm0,3)\\ \mathrm{cm}/\mathrm{s}^{2}
Sim

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