Um campo elétrico uniforme tem intensidade
e orienta-se de baixo para cima através de um quadrado de lado igual a
. Os vértices do quadrado são a, b, c e d. Pede-se: (a) a diferença de potencial entre a e c, quando se move de a para b, e de b para c; (b) a diferença de potencial entre a e c, quando se move diretamente entre a e c; (c) que conclusões podemos tirar dos valores encontrados nos itens (a) e (b)?
Passo 1
Dados que o enunciado fornece:
é um campo elétrico uniforme que se orienta de baixo para cima (ou seja, na direção positiva
). O quadrado tem lado igual a
. Os vértices do quadrado são
(o enunciado não especificou a ordem, então vamos assumir a ordem usual no sentido horário:
canto inferior esquerdo,
canto inferior direito,
canto superior direito e
canto superior esquerdo). O lado do quadrado vale
.
O enunciado pede:
(a) a diferença de potencial entre e
quando se move de
para
e depois de
para
(isto é, pelo caminho em duas etapas ao longo das arestas do quadrado);
(b) a diferença de potencial entre e
quando se move diretamente de
para
(pela diagonal);
(c) que conclusões podemos tirar dos valores obtidos nos itens (a) e (b).
(a) a diferença de potencial entre
(b) a diferença de potencial entre
(c) que conclusões podemos tirar dos valores obtidos nos itens (a) e (b).
Para evitar ambiguidade, vou definir claramente que por “diferença de potencial entre
e
” vou calcular
, isto é, o potencial no ponto
menos o potencial no ponto
.
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (regra fundamental entre campo elétrico e potencial):
Explicando:
é o vetor campo elétrico,
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho de integração, e a integral de linha
dá a variação do potencial elétrico quando eu vou de
até
. As variáveis:
-
é o potencial no ponto . -
é o potencial no ponto . -
é o produto escalar entre campo e deslocamento (só conta a componente do deslocamento na direção do campo).
Importante didático: em um campo eletrostático (conservativo) a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Como o enunciado descreve um campo elétrico uniforme e orientado verticalmente, podemos aplicar essa fórmula e calcular integrais relativamente simples.
Passo 3
Escolhendo coordenadas e representando os pontos (isso facilita as integrais):
- tomo
em , -
em , -
em , -
em ,
com.
O campo é vertical para cima, então escrevo
O sinal de
é para cima (direção positiva
).
Passo 4
Calculemos a contribuição do trecho
(primeira etapa do caminho pedido em (a)). Nesse trecho o deslocamento é horizontal, paralelo a
. Para um deslocamento infinitesimal
temos
porque
. Assim a integral ao longo de
é nula e não há variação de potencial nessa etapa:
Interpretação física ensinando: mover-se perpendicularmente a um campo elétrico uniforme não muda o potencial — é como caminhar ao longo de uma cota de mesma altitude.
Passo 5
Agora a contribuição do trecho
. Aqui o deslocamento é vertical, para cima,
. O produto escalar é
Portanto a variação de potencial de
para
é
Somando as duas etapas (a→b e b→c) obtemos a variação total de
para
:
Como definimos que queremos
, obtemos
Agora substituímos valores numéricos:
e
, então
Portanto, pelo caminho
e
, o potencial em
é
maior que em
.
Passo 6
Calculemos agora a variação de potencial quando nos movemos diretamente de
para
(diagonal). Vou parametrizar esse caminho para mostrar passo a passo:
parametrização simples: para
variando de
a
,
Então o deslocamento infinitesimal é
Fazendo o produto escalar com o campo
,
A integral da variação de
para
é então
Logo
Conclusão numérica: pelo caminho diagonal a diferença
também vale
.
Passo 7
Interpretação e conclusão (didática e motivadora):
- Os resultados dos itens (a) e (b) são iguais:
em ambos os caminhos. Isso mostra, de forma prática, que em um campo eletrostático (aqui uniforme) a diferença de potencial entre dois pontos independe do caminho seguido — ou seja, o campo é conservativo e existe uma função potencial bem definida. - Observação útil para prova: apenas a componente do deslocamento na direção do campo importa. Movimentos perpendiculares ao campo (como
) não alteram o potencial. - Outra forma simples de lembrar: para um campo uniforme vertical
podemos definir . Assim a diferença entre dois pontos depende só da diferença de suas coordenadas .
Força final: você já tem a ideia principal — mesmo por caminhos diferentes, o valor entre dois pontos é o mesmo; pratique esse tipo de cálculo com um ou dois exemplos parecidos que você encontra no caderno que isso assenta bem a matéria!
Resposta
(a)
(b)
(c) A diferença de potencial entre dois pontos num campo eletrostático uniforme independe do caminho (campo conservativo); deslocamentos perpendiculares ao campo não alteram o potencial; somente a componente na direção do campo contribui para a variação de potencial.
(b)
(c) A diferença de potencial entre dois pontos num campo eletrostático uniforme independe do caminho (campo conservativo); deslocamentos perpendiculares ao campo não alteram o potencial; somente a componente na direção do campo contribui para a variação de potencial.