Um campo elétrico uniforme tem intensidade \mathrm{E}=10[\mathrm{~N} / \mathrm{C}] e orienta-se de baixo para cima através de um quadrado de lado igual a 10[\mathrm{~cm}]. Os vértices do quadrado são a, b, c e d. Pede-se: (a) a diferença de potencial entre a e c, quando se move de a para b, e de b para c; (b) a diferença de potencial entre a e c, quando se move diretamente entre a e c; (c) que conclusões podemos tirar dos valores encontrados nos itens (a) e (b)?

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
\mathrm{E}=10\\ \mathrm{N/C} é um campo elétrico uniforme que se orienta de baixo para cima (ou seja, na direção positiva y). O quadrado tem lado igual a 10\\ \mathrm{cm}. Os vértices do quadrado são a,b,c,d (o enunciado não especificou a ordem, então vamos assumir a ordem usual no sentido horário: a canto inferior esquerdo, b canto inferior direito, c canto superior direito e d canto superior esquerdo). O lado do quadrado vale s=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) a diferença de potencial entre a e c quando se move de a para b e depois de b para c (isto é, pelo caminho em duas etapas ao longo das arestas do quadrado);
(b) a diferença de potencial entre a e c quando se move diretamente de a para c (pela diagonal);
(c) que conclusões podemos tirar dos valores obtidos nos itens (a) e (b).
Para evitar ambiguidade, vou definir claramente que por “diferença de potencial entre a e c” vou calcular V_a - V_c, isto é, o potencial no ponto a menos o potencial no ponto c.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (regra fundamental entre campo elétrico e potencial):
V(B)-V(A) = -\int_{A}^{B} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Explicando: \vec{E} é o vetor campo elétrico, d\vec{\ell} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho de integração, e a integral de linha -\int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{\ell} dá a variação do potencial elétrico quando eu vou de A até B. As variáveis:
  • V(A) é o potencial no ponto A.
  • V(B) é o potencial no ponto B.
  • \vec{E}\cdot d\vec{\ell} é o produto escalar entre campo e deslocamento (só conta a componente do deslocamento na direção do campo).
Importante didático: em um campo eletrostático (conservativo) a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido. Como o enunciado descreve um campo elétrico uniforme e orientado verticalmente, podemos aplicar essa fórmula e calcular integrais relativamente simples.

Passo 3

Escolhendo coordenadas e representando os pontos (isso facilita as integrais):
  • tomo a em (0,0),
  • b em (s,0),
  • c em (s,s),
  • d em (0,s),
    com s=0{,}10\\ \mathrm{m}.
O campo é vertical para cima, então escrevo
\vec{E} = E\,\hat{y} \quad\text{com}\quad E=10\\ \mathrm{N/C}.
O sinal de \hat{y} é para cima (direção positiva y).

Passo 4

Calculemos a contribuição do trecho a\to b (primeira etapa do caminho pedido em (a)). Nesse trecho o deslocamento é horizontal, paralelo a \hat{x}. Para um deslocamento infinitesimal d\vec{\ell} = dx\,\hat{x} temos
\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E\,\hat{y}\cdot (dx\,\hat{x}) = 0,
porque \hat{y}\cdot\hat{x}=0. Assim a integral ao longo de a\to b é nula e não há variação de potencial nessa etapa:
V_b - V_a = -\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = 0.
Interpretação física ensinando: mover-se perpendicularmente a um campo elétrico uniforme não muda o potencial — é como caminhar ao longo de uma cota de mesma altitude.

Passo 5

Agora a contribuição do trecho b\to c. Aqui o deslocamento é vertical, para cima, d\vec{\ell}=dy\,\hat{y}. O produto escalar é
\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E\,\hat{y}\cdot(dy\,\hat{y}) = E\,dy.
Portanto a variação de potencial de b para c é
V_c - V_b = -\int_{y=0}^{y=s} E\,dy = -E\int_{0}^{s} dy = -E s.
Somando as duas etapas (a→b e b→c) obtemos a variação total de a para c:
V_c - V_a = (V_c - V_b) + (V_b - V_a) = -E s + 0 = -E s.
Como definimos que queremos V_a - V_c, obtemos
V_a - V_c = +E s.
Agora substituímos valores numéricos: E=10\\ \mathrm{N/C} e s=0{,}10\\ \mathrm{m}, então
V_a - V_c = 10 \times 0{,}10 = 1{,}0\\ \mathrm{V}.
Portanto, pelo caminho a\to b e b\to c, o potencial em a é 1{,}0\\ \mathrm{V} maior que em c.

Passo 6

Calculemos agora a variação de potencial quando nos movemos diretamente de a para c (diagonal). Vou parametrizar esse caminho para mostrar passo a passo:
parametrização simples: para t variando de 0 a 1,
x(t)=s t,\qquad y(t)=s t.
Então o deslocamento infinitesimal é
d\vec{\ell} = (dx)\,\hat{x} + (dy)\,\hat{y} = s\,dt\,\hat{x} + s\,dt\,\hat{y}.
Fazendo o produto escalar com o campo \vec{E}=E\,\hat{y},
\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E\,\hat{y}\cdot(s\,dt\,\hat{x} + s\,dt\,\hat{y}) = E\cdot s\,dt.
A integral da variação de a para c é então
V_c - V_a = -\int_{t=0}^{t=1} E s\,dt = -E s \int_0^1 dt = -E s.
Logo
V_a - V_c = E s = 10\times 0{,}10 = 1{,}0\\ \mathrm{V}.
Conclusão numérica: pelo caminho diagonal a diferença V_a - V_c também vale 1{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretação e conclusão (didática e motivadora):
  • Os resultados dos itens (a) e (b) são iguais: V_a - V_c = 1{,}0\\ \mathrm{V} em ambos os caminhos. Isso mostra, de forma prática, que em um campo eletrostático (aqui uniforme) a diferença de potencial entre dois pontos independe do caminho seguido — ou seja, o campo é conservativo e existe uma função potencial V bem definida.
  • Observação útil para prova: apenas a componente do deslocamento na direção do campo importa. Movimentos perpendiculares ao campo (como a\to b) não alteram o potencial.
  • Outra forma simples de lembrar: para um campo uniforme vertical \vec{E}=E\hat{y} podemos definir V(y) = -E y + \text{const}. Assim a diferença entre dois pontos depende só da diferença de suas coordenadas y.
Força final: você já tem a ideia principal — mesmo por caminhos diferentes, o valor entre dois pontos é o mesmo; pratique esse tipo de cálculo com um ou dois exemplos parecidos que você encontra no caderno que isso assenta bem a matéria!

Resposta

(a) V_a - V_c = 1{,}0\\ \mathrm{V}
(b) V_a - V_c = 1{,}0\\ \mathrm{V}
(c) A diferença de potencial entre dois pontos num campo eletrostático uniforme independe do caminho (campo conservativo); deslocamentos perpendiculares ao campo não alteram o potencial; somente a componente na direção do campo contribui para a variação de potencial.

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