(Poli 2006) Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica k, uma força devido À resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa \rho e uma força externa periódica F(t)=F_{0} \cos (\Omega t), sendo \Omega a frequência externa.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
(b) Considerando que m=50 \mathrm{~kg}, k=5000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, F_{0}= 50 N e \rho=500 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, calcule a frequência natural do sistema e o seu fator de qualidade.
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de \Omega para o qual a amplitude do movimento é máxima.
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: (i) força elástica de uma mola de constante k, (ii) resistência viscosa do meio com coeficiente \rho e (iii) força externa periódica F(t)=F_{0}\cos(\Omega t). As perguntas são:
  1. (a) Escrever a equação diferencial que descreve o movimento e encontrar a solução estacionária (regime forçado permanente).
  2. (b) Para m=50\\ \mathrm{kg}, k=5000\\ \mathrm{N/m}, F_0=50\\ \mathrm{N} e \rho=500\\ \mathrm{kg/s}: calcular a frequência natural do sistema e o fator de qualidade.
  3. (c) No regime estacionário e usando os valores do item (b): determinar \Omega que maximiza a amplitude do movimento.
  4. (d) No regime estacionário e usando os valores do item (b): determinar a amplitude máxima.
Dados relevantes fornecidos: m,\\ k,\\ \rho,\\ F_{0},\\ \Omega. Quero a equação do movimento e, para o regime estacionário, a expressão da amplitude e da fase; depois calcular números para (b),(c),(d).

Passo 2

Montando a equação diferencial: faço o balanço das forças na direção do movimento x(t). A força resultante é soma das três forças (sinal convencionado tal que a mola e o amortecimento fornecem forças restauradoras/opostas ao movimento):
  • Força elástica da mola: -k x(t).
  • Força viscosa (proporcional à velocidade): -\rho \dot x(t).
  • Força externa: F_0\cos(\Omega t).
Pela segunda lei de Newton temos
m\ddot x(t) = -\rho \dot x(t) - k x(t) + F_0\cos(\Omega t).
Reorganizando, a equação diferencial do movimento é
\boxed{\,m\ddot x(t) + \rho \dot x(t) + k x(t) = F_0\cos(\Omega t)\,.}
Aqui: x(t) é o deslocamento, \dot x a velocidade, \ddot x a aceleração, \rho é o coeficiente de amortecimento (unidade \mathrm{kg/s}), k é a constante elástica, F_0 amplitude da força externa e \Omega sua frequência angular.

Passo 3

Queremos a solução estacionária (também chamada solução particular no regime forçado permanente), isto é, a resposta que persiste depois que os transientes da solução homogênea já morreram. Método prático: usar representação complexa (método da força complexa) para obter amplitude e fase de forma simples.
  1. Assumimos uma solução do tipo complexo
x_p(t)=\Re\{\hat X e^{i\Omega t}\},
onde \hat X é a amplitude complexa (contém amplitude e fase). Substituindo x_p na equação diferencial (e usando \frac{d}{dt} e^{i\Omega t}=i\Omega e^{i\Omega t}, \frac{d^2}{dt^2}e^{i\Omega t}=-\Omega^2 e^{i\Omega t}) obtemos a equação para \hat X:
\big(-m\Omega^2 + i \rho \Omega + k\big)\hat X e^{i\Omega t} = F_0 e^{i\Omega t}.
Cancelando e^{i\Omega t},
\hat X = \frac{F_0}{k - m\Omega^2 + i\,\rho\Omega}.
  1. A amplitude real (módulo) e a fase estão dadas por
A(\Omega)=|\hat X|=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2 + (\rho\Omega)^2}},
\varphi(\Omega)=\arg(\hat X)=\arctan\!\bigg(\frac{\rho\Omega}{\,k-m\Omega^2\,}\bigg).
(A convenção de sinal da fase faz com que a solução real seja escrita como x_p(t)=A\cos(\Omega t-\varphi).)
Portanto a solução estacionária (regime permanente) é
\boxed{\,x_{\text{est}}(t)=A(\Omega)\cos\big(\Omega t-\varphi(\Omega)\big)\,}
com A(\Omega) e \varphi(\Omega) dadas acima. Aqui explicando as fórmulas: o denominador \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(\rho\Omega)^2} mede a “impedância” dinâmica do sistema — quando o termo elástico e o inercial se cancelam, a impedância pode ficar pequena e a amplitude cresce (ressonância); o termo \rho\Omega representa a perda de energia por amortecimento, que limita a amplitude.

Passo 4

Item (b): calcular a frequência natural e o fator de qualidade com os valores dados.
  1. Frequência natural (angular) do sistema sem amortecimento:
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando: \omega_0 é a frequência angular (rad/s) do oscilador quando \rho=0. Substituindo k=5000\\ \mathrm{N/m} e m=50\\ \mathrm{kg},
\omega_0=\sqrt{\frac{5000}{50}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Fator de qualidade Q: uma definição comum ligada ao amortecimento viscoso é
\zeta=\frac{\rho}{2m\omega_0}\quad\text{(razão de amortecimento)},\qquad Q=\frac{1}{2\zeta}=\frac{m\omega_0}{\rho}.ã
Explicando: \zeta é adimensional e mede se o sistema é subamortecido ( \zeta<1), criticamente amortecido ( \zeta=1) ou superamortecido ( \zeta>1). Já Q mede “nitidez” da ressonância: Q maior → pico mais estreito e alto. Substituindo números:
Q=\frac{m\omega_0}{\rho}=\frac{50\cdot 10}{500}=\frac{500}{500}=1.
Resultado: \omega_0=10\\ \mathrm{rad/s} e Q=1.

Passo 5

Item (c): determinar \Omega que maximiza a amplitude A(\Omega) no regime estacionário.
Queremos maximizar
A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(\rho\Omega)^2}}.
Maximizar A(\Omega) é equivalente a minimizar o denominador ao quadrado
D(\Omega)=(k-m\Omega^2)^2+(\rho\Omega)^2.
Derivando D em relação a \Omega e igualando a zero (procura de extremo):
\frac{dD}{d\Omega}=2(k-m\Omega^2)(-2m\Omega)+2\rho^2\Omega=0.
Se \Omega\neq0 podemos dividir por 2\Omega:
-2m(k-m\Omega^2)+\rho^2=0.
Rearranjando:
2m^2\Omega^2 = 2mk - \rho^2
e portanto
\boxed{\,\Omega_{\text{max}}=\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{\rho^2}{2m^2}} \,}.
Em termos de \omega_0 e \gamma=\rho/(2m) esta fórmula pode ser escrita como \Omega_{\text{max}}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}.
Agora substituo os valores do item (b): \omega_0=10\\ \mathrm{rad/s}, \rho=500, m=50. Calculo intermédio: \rho/(2m)=500/(100)=5\\ \mathrm{s^{-1}} e \rho^2/(2m^2)=2\gamma^2=2\cdot 5^2=50. Assim
\Omega_{\text{max}}=\sqrt{100-50}=\sqrt{50}\approx 7,071\\ \mathrm{rad/s}.
Observação didática: se o amortecimento fosse muito grande a expressão poderia tornar-se negativa (não haveria pico de amplitude em \Omega>0); aqui ela é positiva, logo existe um máximo interno em \Omega>0.

Passo 6

Item (d): determinar a amplitude máxima (valor de A em \Omega=\Omega_{\text{max}}) usando os valores numéricos.
Usamos a expressão de A(\Omega). No ponto de máximo temos, pela relação usada para encontrar \Omega_{\text{max}},
k-m\Omega_{\text{max}}^2 = \frac{\rho^2}{2m}.
Isso simplifica o denominador:
D(\Omega_{\text{max}})=\Big(\frac{\rho^2}{2m}\Big)^2 + (\rho\Omega_{\text{max}})^2.
Substituo numérica e calculo passo a passo:
  1. Calcular k-m\Omega_{\text{max}}^2 usando a identidade acima:
k-m\Omega_{\text{max}}^2=\frac{\rho^2}{2m}=\frac{500^2}{2\cdot 50}=\frac{250000}{100}=2500.
  1. Calcular \rho\Omega_{\text{max}}=500\cdot\sqrt{50}=500\cdot 7,07106781\approx 3535,5339.
  2. Denominador ao quadrado:
D(\Omega_{\text{max}})=2500^2 + (3535,5339)^2 = 6\,250\,000 + 12\,500\,000 = 18\,750\,000.
  1. Raiz:
\sqrt{D(\Omega_{\text{max}})}=\sqrt{18\,750\,000}\approx 4\,330,127.
  1. Amplitude máxima:
A_{\max}=\frac{F_0}{\sqrt{D(\Omega_{\text{max}})}}=\frac{50}{4330,127}\approx 0,011547\\ \mathrm{m}.
Convertendo: 0,011547\\ \mathrm{m}\approx 1,1547\\ \mathrm{cm}.
Portanto a amplitude máxima no regime estacionário, com os parâmetros dados, é aproximadamente 0,01155\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) m\ddot x+\rho\dot x+kx=F_0\cos(\Omega t) \
x_{\text{est}}(t)=A(\Omega)\cos\big(\Omega t-\varphi(\Omega)\big), com A(\Omega)=\dfrac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(\rho\Omega)^2}} e \varphi(\Omega)=\arctan\!\big(\dfrac{\rho\Omega}{k-m\Omega^2}\big). \
(b) \omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=10\\ \mathrm{rad/s}, \;Q=\dfrac{m\omega_0}{\rho}=1. \
(c) \Omega_{\text{max}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{\rho^2}{2m^2}}=\sqrt{50}\approx 7,071\\ \mathrm{rad/s}. \
(d) A_{\max}\approx 0,011547\\ \mathrm{m}\\ (\approx 1,1547\\ \mathrm{cm}).

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