(Poli 2006) Um corpo de massa
desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica
, uma força devido À resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa
e uma força externa periódica
, sendo
a frequência externa.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
(b) Considerando que
50 N e
, calcule a frequência natural do sistema e o seu fator de qualidade.
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
para o qual a amplitude do movimento é máxima.
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
(b) Considerando que
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: (i) força elástica de uma mola de constante
, (ii) resistência viscosa do meio com coeficiente
e (iii) força externa periódica
. As perguntas são:
- (a) Escrever a equação diferencial que descreve o movimento e encontrar a solução estacionária (regime forçado permanente).
- (b) Para
, , e : calcular a frequência natural do sistema e o fator de qualidade. - (c) No regime estacionário e usando os valores do item (b): determinar
que maximiza a amplitude do movimento. - (d) No regime estacionário e usando os valores do item (b): determinar a amplitude máxima.
Dados relevantes fornecidos:
. Quero a equação do movimento e, para o regime estacionário, a expressão da amplitude e da fase; depois calcular números para (b),(c),(d).
Passo 2
Montando a equação diferencial: faço o balanço das forças na direção do movimento
. A força resultante é soma das três forças (sinal convencionado tal que a mola e o amortecimento fornecem forças restauradoras/opostas ao movimento):
- Força elástica da mola:
. - Força viscosa (proporcional à velocidade):
. - Força externa:
.
Pela segunda lei de Newton temos
Reorganizando, a equação diferencial do movimento é
Aqui:
é o deslocamento,
a velocidade,
a aceleração,
é o coeficiente de amortecimento (unidade
),
é a constante elástica,
amplitude da força externa e
sua frequência angular.
Passo 3
Queremos a solução estacionária (também chamada solução particular no regime forçado permanente), isto é, a resposta que persiste depois que os transientes da solução homogênea já morreram. Método prático: usar representação complexa (método da força complexa) para obter amplitude e fase de forma simples.
- Assumimos uma solução do tipo complexo
onde
é a amplitude complexa (contém amplitude e fase). Substituindo
na equação diferencial (e usando
,
) obtemos a equação para
:
Cancelando
,
- A amplitude real (módulo) e a fase estão dadas por
(A convenção de sinal da fase faz com que a solução real seja escrita como
.)
Portanto a solução estacionária (regime permanente) é
com
e
dadas acima. Aqui explicando as fórmulas: o denominador
mede a “impedância” dinâmica do sistema — quando o termo elástico e o inercial se cancelam, a impedância pode ficar pequena e a amplitude cresce (ressonância); o termo
representa a perda de energia por amortecimento, que limita a amplitude.
Passo 4
Item (b): calcular a frequência natural e o fator de qualidade com os valores dados.
- Frequência natural (angular) do sistema sem amortecimento:
Explicando:
é a frequência angular (rad/s) do oscilador quando
. Substituindo
e
,
- Fator de qualidade
: uma definição comum ligada ao amortecimento viscoso é
Explicando:
é adimensional e mede se o sistema é subamortecido (
), criticamente amortecido (
) ou superamortecido (
). Já
mede “nitidez” da ressonância: Q maior → pico mais estreito e alto. Substituindo números:
Resultado:
e
.
Passo 5
Item (c): determinar
que maximiza a amplitude
no regime estacionário.
Queremos maximizar
Maximizar
é equivalente a minimizar o denominador ao quadrado
Derivando
em relação a
e igualando a zero (procura de extremo):
Se
podemos dividir por
:
Rearranjando:
e portanto
Em termos de
e
esta fórmula pode ser escrita como
.
Agora substituo os valores do item (b):
,
,
. Calculo intermédio:
e
. Assim
Observação didática: se o amortecimento fosse muito grande a expressão poderia tornar-se negativa (não haveria pico de amplitude em
); aqui ela é positiva, logo existe um máximo interno em
.
Passo 6
Item (d): determinar a amplitude máxima (valor de
em
) usando os valores numéricos.
Usamos a expressão de
. No ponto de máximo temos, pela relação usada para encontrar
,
Isso simplifica o denominador:
Substituo numérica e calculo passo a passo:
- Calcular
usando a identidade acima:
-
Calcular
. -
Denominador ao quadrado:
- Raiz:
- Amplitude máxima:
Convertendo:
.
Portanto a amplitude máxima no regime estacionário, com os parâmetros dados, é aproximadamente
.
Resposta
(a)
\
, com
e
. \
(b) ,
. \
(c) . \
(d) .
(b)
(c)
(d)