Questão 29

Em uma primeira aproximação, o Sol consiste em um gás com números iguais de prótons e elétrons. (As massas destas partículas podem ser encontradas no Apêndice B.) A temperatura no centro do Sol é de cerca de 1 \times 10^{7} \mathrm{~K}, e a massa específica do Sol é cerca de 1 \times 10^{5} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Como a temperatura é tão alta, os prótons e os elétrons são partículas separadas (em vez de estarem ligados para formar átomos de hidrogênio).
(a) Estime a pressão no centro do Sol.
(b) Estime os valores da rapidez rms para os prótons e os elétrons no centro do Sol.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Estimar a pressão no centro do Sol.
  2. Estimar os valores da rapidez rms para os prótons e para os elétrons no centro do Sol.
Informações fornecidas pelo enunciado (que usaremos diretamente):
T = 1\times 10^{7}\\ \text{K}
\rho = 1\times 10^{5}\\ \mathrm{kg/m^{3}}
Diz-se que há números iguais de prótons e elétrons (plasma totalmente ionizado). Vou usar constantes físicas padrão (valores do Apêndice B):
m_{p} = 1{,}6726\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}
m_{e} = 9{,}1094\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}
k_{B} = 1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}

Passo 2

Vamos calcular a pressão usando a lei dos gases ideais para partículas: a pressão é dada por P = n_{\text{total}} k_{B} T, onde n_{\text{total}} é a densidade numérica total de partículas (número de partículas por volume), k_{B} é a constante de Boltzmann e T a temperatura.
Como há números iguais de prótons e elétrons, a densidade numérica total é
n_{\text{total}} = n_{p} + n_{e} = 2n_{p}.
A densidade numérica de prótons n_{p} vem da densidade de massa \rho dividida pela massa de cada próton:
n_{p} = \frac{\rho}{m_{p}}.

Passo 3

Calculo de n_{p} e de n_{\text{total}}. Primeiro:
n_{p} = \frac{1\times 10^{5}}{1{,}6726\times 10^{-27}}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Faço a divisão (mostrando a ordem de grandeza):
\frac{1\times 10^{5}}{1{,}6726\times 10^{-27}} = \frac{1}{1{,}6726}\times 10^{5-(-27)} \approx 5{,}979\times 10^{31}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Portanto
n_{\text{total}} = 2n_{p} \approx 1{,}1958\times 10^{32}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Agora calculamos a pressão com
P = n_{\text{total}} k_{B} T.
Substituindo valores:
k_{B}T = 1{,}380649\times 10^{-23}\times 1\times 10^{7} = 1{,}380649\times 10^{-16}\\ \mathrm{J}.
Multiplico por n_{\text{total}}:
P \approx 1{,}1958\times 10^{32}\times 1{,}380649\times 10^{-16}\\ \mathrm{Pa}.
Calculando a parte numérica:
1{,}1958\times 1{,}380649 \approx 1{,}6511,
e os expoentes: 10^{32-16}=10^{16}. Assim
P \approx 1{,}6511\times 10^{16}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma razoável:
P \approx 1{,}65\times 10^{16}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Para as rapidades rms usamos a relação da teoria cinética que liga energia cinética média por partícula à temperatura:
\frac{1}{2}m v_{\text{rms}}^{2} = \frac{3}{2}k_{B}T.
Daí obtemos a fórmula prática
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}.
Aqui m é a massa da partícula considerada (próton ou elétron). Vou explicar: k_{B}T tem unidades de energia; 3k_{B}T/2 é a energia cinética média num gás em três dimensões; resolvendo para v_{\text{rms}} isolamos a velocidade característica.

Passo 6

Cálculo de v_{\text{rms}} para o próton. Primeiro compute 3k_{B}T:
3k_{B}T = 3\times 1{,}380649\times 10^{-16} = 4{,}141947\times 10^{-16}\\ \mathrm{J}.
Divido por m_{p}:
\frac{3k_{B}T}{m_{p}} = \frac{4{,}141947\times 10^{-16}}{1{,}6726\times 10^{-27}} \approx 2{,}4769\times 10^{11}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora a raiz quadrada:
v_{\text{rms},p} = \sqrt{2{,}4769\times 10^{11}}\\ \mathrm{m/s} \approx 4{,}98\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo de v_{\text{rms}} para o elétron. Usamos a mesma 3k_{B}T do passo anterior e dividimos por m_{e}:
\frac{3k_{B}T}{m_{e}} = \frac{4{,}141947\times 10^{-16}}{9{,}1094\times 10^{-31}} \approx 4{,}5468\times 10^{14}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tomando a raiz quadrada:
v_{\text{rms},e} = \sqrt{4{,}5468\times 10^{14}}\\ \mathrm{m/s} \approx 6{,}74\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Observação curta: esse valor é cerca de 0{,}225 vezes a velocidade da luz c, portanto não é puramente relativístico, mas já é uma fração significativa de c. Para estimativas de ordem de grandeza essa expressão não-relativística ainda é aceitável.

Resposta

(a) P \approx 1{,}65\times 10^{16}\\ \mathrm{Pa}
(b) v_{\text{rms, próton}} \approx 4{,}98\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}ó
v_{\text{rms, elétron}} \approx 6{,}74\times 10^{7}\\ \mathrm{m/s}é

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