Questão 29
Em uma primeira aproximação, o Sol consiste em um gás com números iguais de prótons e elétrons. (As massas destas partículas podem ser encontradas no Apêndice B.) A temperatura no centro do Sol é de cerca de
, e a massa específica do Sol é cerca de
. Como a temperatura é tão alta, os prótons e os elétrons são partículas separadas (em vez de estarem ligados para formar átomos de hidrogênio).
(a) Estime a pressão no centro do Sol.
(b) Estime os valores da rapidez rms para os prótons e os elétrons no centro do Sol.
(a) Estime a pressão no centro do Sol.
(b) Estime os valores da rapidez rms para os prótons e os elétrons no centro do Sol.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Estimar a pressão no centro do Sol.
- Estimar os valores da rapidez rms para os prótons e para os elétrons no centro do Sol.
Informações fornecidas pelo enunciado (que usaremos diretamente):
Diz-se que há números iguais de prótons e elétrons (plasma totalmente ionizado). Vou usar constantes físicas padrão (valores do Apêndice B):
Passo 2
Vamos calcular a pressão usando a lei dos gases ideais para partículas: a pressão é dada por
, onde
é a densidade numérica total de partículas (número de partículas por volume),
é a constante de Boltzmann e
a temperatura.
Como há números iguais de prótons e elétrons, a densidade numérica total é
A densidade numérica de prótons
vem da densidade de massa
dividida pela massa de cada próton:
Passo 3
Calculo de
e de
. Primeiro:
Faço a divisão (mostrando a ordem de grandeza):
Portanto
Passo 4
Agora calculamos a pressão com
Substituindo valores:
Multiplico por
:
Calculando a parte numérica:
e os expoentes:
. Assim
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Para as rapidades rms usamos a relação da teoria cinética que liga energia cinética média por partícula à temperatura:
Daí obtemos a fórmula prática
Aqui
é a massa da partícula considerada (próton ou elétron). Vou explicar:
tem unidades de energia;
é a energia cinética média num gás em três dimensões; resolvendo para
isolamos a velocidade característica.
Passo 6
Cálculo de
para o próton. Primeiro compute
:
Divido por
:
Agora a raiz quadrada:
Passo 7
Cálculo de
para o elétron. Usamos a mesma
do passo anterior e dividimos por
:
Tomando a raiz quadrada:
Observação curta: esse valor é cerca de
vezes a velocidade da luz
, portanto não é puramente relativístico, mas já é uma fração significativa de
. Para estimativas de ordem de grandeza essa expressão não-relativística ainda é aceitável.
Resposta
(a)
(b)
(b)