Três corpos diferentes A, B e C entram em movimentos de maneiras distintas, cada um deles possui a sua própria função de posição, sendo x_{A}(t)=5 .\left(1-e^{k t}\right), x_{B}(t)=8 .\left(t+e^{k t}\right) e x_{C}(t)=t^{2} .(3+\cos (\pi t)). Encontre as funções da velocidade e da aceleração para cada corpo, bem como os valores da posição, velocidade e aceleração de cada corpo para o instante \mathrm{t}=0.

Passo 1

O enunciado fornece as funções de posição dos corpos A, B e C, dadas por
x_{A}(t)=5\bigl(1-e^{k t}\bigr),\quad x_{B}(t)=8\bigl(t+e^{k t}\bigr),\quad x_{C}(t)=t^{2}\bigl(3+\cos(\pi t)\bigr).
Pede-se encontrar as funções velocidade v(t)=\tfrac{dx}{dt} e aceleração a(t)=\tfrac{d^{2}x}{dt^{2}} de cada corpo, e avaliar x, v e a em t=0.

Passo 2

Para o corpo A, derivamos
v_{A}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[5(1-e^{k t})\bigr] =-5\,k\,e^{k t}
e
a_{A}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-5k\,e^{k t}\bigr] =-5\,k^{2}\,e^{k t}.
Em t=0 temos
x_{A}(0)=5\bigl(1-e^{0}\bigr)=0,\quad v_{A}(0)=-5k,\quad a_{A}(0)=-5k^{2}.

Passo 3

Para o corpo B, derivamos
v_{B}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[8(t+e^{k t})\bigr] =8\bigl(1+k\,e^{k t}\bigr)
e
a_{B}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[8(1+k\,e^{k t})\bigr] =8\,k^{2}\,e^{k t}.
Em t=0 resulta
x_{B}(0)=8(0+1)=8,\quad v_{B}(0)=8(1+k),\quad a_{B}(0)=8k^{2}.

Passo 4

Para o corpo C, primeiro a velocidade:
v_{C}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[t^{2}(3+\cos(\pi t))\bigr] =2t\bigl(3+\cos(\pi t)\bigr) -\pi\,t^{2}\sin(\pi t).
Em t=0 segue
x_{C}(0)=0,\quad v_{C}(0)=0.

Passo 5

Ainda para C, a aceleração:
a_{C}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[2t(3+\cos(\pi t))-\pi t^{2}\sin(\pi t)\bigr] =6+2\cos(\pi t) -4\pi\,t\sin(\pi t) -\pi^{2}t^{2}\cos(\pi t).
Em t=0 obtemos
a_{C}(0)=6+2\cos(0)=8.

Resposta

Para A:
v_{A}(t)=-5k\,e^{k t},\quad a_{A}(t)=-5k^{2}\,e^{k t},\quad x_{A}(0)=0,\;v_{A}(0)=-5k,\;a_{A}(0)=-5k^{2}.
Para B:
v_{B}(t)=8\bigl(1+k\,e^{k t}\bigr),\quad a_{B}(t)=8k^{2}\,e^{k t},\quad x_{B}(0)=8,\;v_{B}(0)=8(1+k),\;a_{B}(0)=8k^{2}.
Para C:
v_{C}(t)=2t\bigl(3+\cos(\pi t)\bigr)-\pi t^{2}\sin(\pi t),
a_{C}(t)=6+2\cos(\pi t)-4\pi t\sin(\pi t)-\pi^{2}t^{2}\cos(\pi t),
x_{C}(0)=0,\;v_{C}(0)=0,\;a_{C}(0)=8.

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