a) A constante solar na atmosfera terrestre vale aproximadamente 1,35 quilowatts / \mathrm{m}^{2}. Determine o valor dessa constante para a superfície de Mercúrio cujo raio médio da orbita em torno do Sol e aproximadamente três vezes menor que o da Terra.
b) A partir do resultado do item anterior, e considerando os valores tabelados de \mu_{0} \mathrm{e} \epsilon_{0}, determine os valores máximos dos campos elétrico e magnético na superfície de Mercúrio.
c) Suponha que queremos substituir o Sol por um conjunto de lâmpadas de 100 watts de modo que a Terra receba a mesma quantidade de energia que vem do Sol. Sabendo que o raio médio da órbita terrestre em torno do Sol é aproximadamente 1,5 \times 10^{11} \mathrm{~m}, determine o número aproximado de lâmpadas necessárias para isto.

Passo 1

O enunciado quer (a) o valor da constante solar em Mercúrio sabendo que a irradiância cai com o inverso do quadrado da distância, (b) os campos elétrico e magnético máximos de uma onda eletromagnética cuja intensidade média é essa constante solar, e (c) quantas lâmpadas de 100,W, radiando isotropicamente, seriam necessárias para fornecer à Terra a mesma potência que o Sol fornece. Vamos usar a lei do inverso do quadrado, a relação entre intensidade média e amplitude de campo elétrico numa onda plana, e o conceito de luminosidade total espalhada numa esfera.

Passo 2

Para (a), seja \displaystyle S_E=1{,}35\times10^{3},W/ m^{2} a constante solar na órbita da Terra, e seja r_E e r_M os raios médios das órbitas da Terra e de Mercúrio. Como r_M = r_E/3, pela lei do inverso do quadrado da distância:
S_M = S_E \,\biggl(\frac{r_E}{r_M}\biggr)^{2} = S_E \,(3)^{2} =9\,S_E.
Logo
S_M = 9 \times 1{,}35\times10^{3} =1{,}215\times10^{4}\\ \text{W/m}^2.

Passo 3

Para (b), numa onda eletromagnética plana em vácuo a intensidade média (fluxo de Poynting médio) satisfaz
\langle S\rangle = \frac{E_{0}^2}{2\,\mu_{0}\,c},
onde E_{0} é a amplitude do campo elétrico, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7},H/m e c=3\times10^{8},m/s. Tomando \langle S\rangle=S_M:
E_{0} = \sqrt{2\,\mu_{0}\,c\,S_M} = \sqrt{2\,(4\pi\times10^{-7})\,(3\times10^{8})\,(1{,}215\times10^{4})} \approx3{,}03\times10^{3}\\ \text{V/m}.
Como em vácuo B_{0}=E_{0}/c, segue
B_{0} =\frac{3{,}03\times10^{3}}{3\times10^{8}} \approx1{,}01\times10^{-5}\\ \text{T}.

Passo 4

Para (c), a potência total solar que atravessa a esfera de raio r_E=1{,}5\times10^{11},m é
P_{\odot} = S_E \times 4\pi\,r_E^2.
Substituindo,
P_{\odot} =1{,}35\times10^{3}\times4\pi\,(1{,}5\times10^{11})^{2} \approx3{,}82\times10^{26}\\ \text{W}.
Cada lâmpada fornece 100,W, logo o número necessário é
N=\frac{P_{\odot}}{100} \approx3{,}82\times10^{24}.

Resposta

a) S_M = 1{,}215\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}^2.
b) E_{0}\approx3{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V/m} e B_{0}\approx1{,}01\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
c) N\approx3{,}8\times10^{24} lâmpadas de 100,W.

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