Uma onda plana uniforme de 100 kHz incide normalmente na superfície do oceano, no qual possui condutividade \sigma=4 S / m e permissividade relativa \varepsilon_{r}^{\prime}= 78. Determine a fração de potência refletida e transmitida no sistema.
(Gabarito: \frac{P_{r}}{P_{i}}=0,9967, \frac{P_{t}}{P_{i}}=0,0033 )

Passo 1

O enunciado diz que uma onda plana em incidência normal, de frequência f=100\:\text{kHz}, vai do ar (meio 1) para o oceano (meio 2), em que \sigma=4\:S/m e \varepsilon'_r=78.
O que precisamos é a fração de potência refletida e transmitida, que vêm dos coeficientes de reflexão e transmissão em função das impedâncias de onda dos dois meios.

Passo 2

No ar (meio 1, não condutor, \varepsilon_r=1, \sigma=0) a impedância é
\eta_1 = \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 377\:\Omega.
No oceano (meio 2) a impedância complexa é
\eta_2 = \sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma + j\omega\,\varepsilon_0\,\varepsilon'_r}}\,, \quad \omega = 2\pi f.
Como em água salgada \sigma \gg \omega\varepsilon_0\varepsilon'_r, usa-se a aproximação de bom condutor:
\eta_2 \approx \sqrt{\frac{j\omega\mu_0}{\sigma}} = (1+j)\,\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\,\sigma}}.

Passo 3

Calculemos \omega\mu_0 e então \sqrt{\omega\mu_0/(2\sigma)}:
\omega = 2\pi\cdot10^5,\quad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,H/m \;\Rightarrow\; \omega\mu_0 \approx 0{,}7896.
Assim
\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{2\,\sigma}} = \sqrt{\frac{0{,}7896}{2\cdot4}} = \sqrt{0{,}0987} \approx 0{,}3143\:\Omega,
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\eta_2 \approx (1+j)\,0{,}3143\:\Omega.

Passo 4

O coeficiente de reflexão em campo é
\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1}.
Para potência refletida usamos \bigl|\Gamma\bigr|^2. Calculando a parte real e imaginária:
\eta_2 - \eta_1 = (0{,}3143 - 377) + j\,(0{,}3143), \quad \eta_2 + \eta_1 = (377 + 0{,}3143) + j\,(0{,}3143).
Como 0{,}3143\ll377,
|\Gamma| \approx \frac{377 - 0{,}3143}{377 + 0{,}3143} \approx 0{,}99835,
\frac{P_r}{P_i} = |\Gamma|^2 \approx (0{,}99835)^2 = 0{,}9967.

Passo 5

A fração de potência transmitida é
\frac{P_t}{P_i} = 1 - \frac{P_r}{P_i} = 1 - 0{,}9967 = 0{,}0033.

Resposta

\displaystyle \frac{P_r}{P_i}=0{,}9967,\quad \frac{P_t}{P_i}=0{,}0033

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