Considere una particula de massa \underline{m} que se move em uma dimensar sob a ação da força elástica \underline{F=-k x}, sendo \underline{k>0} a constante elástica e \underline{x} a posição da particula em relação ao ponto de equilíbrio estável.
a) ( 0,5 ponto) Pela segunda lei de Newton, mostre que x(t)=A \cos (\omega t+\varphi), em que \omega=\sqrt{k / m}, A e \varphi são constantes arbitrárias.
b) (0,5 ponto) Que interpretação pode ser dada para as constantes A e \varphi e como seria possível determiná-las?
c) (0,5 ponto) Mostre que x(t) também pode ser escrito como x(t)=A_{1} \cos (\omega t)+A_{2} \sin (\omega t), determinando como as constantes (A_{1}, A_{2}) se relacionam com (A, \varphi).
d) (0,5 ponto) Mostre que x(t) também pode ser escrito como x(t)=a e^{i \omega t}+b e^{-i \omega t}, determinando como as constantes (a, b) se relacionam com (A, \varphi)
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa m sujeita à força elástica unidimensional F=-k\,x. Pelo segundo princípio de Newton temos
m\ddot x = -k\,x.
O conteúdo matemático é a resolução da equação diferencial
\ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0,
cuja solução geral é a oscilação harmônica simples.
Passo 2
Para resolver
\ddot x + \omega^2\,x = 0, \quad\text{onde}\quad \omega^2 = \frac{k}{m},
testamos a forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Calculando a segunda derivada,
\dot x = -A\,\omega\sin(\omega t+\varphi), \quad \ddot x = -A\,\omega^2\cos(\omega t+\varphi) = -\omega^2\,x(t),
A constante A é a amplitude máxima do movimento (o valor máximo de |x|), e \varphi é a fase inicial, ou seja, deslocamento do ciclo no instante t=0. Elas são determinadas pelas condições iniciais x(0) e \dot x(0):
a = \frac{A_{1}-iA_{2}}{2}, \quad b = \frac{A_{1}+iA_{2}}{2},
chegamos a
x(t)=a\,e^{i\omega t}+b\,e^{-i\omega t}.
Substituindo A_{1}=A\cos\varphi e A_{2}=-A\sin\varphi, obtemos
a = \frac{A\cos\varphi + iA\sin\varphi}{2} = \frac{A}{2}e^{i\varphi}, \quad b = \frac{A\cos\varphi - iA\sin\varphi}{2} = \frac{A}{2}e^{-i\varphi}.
Resposta
(a) x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) com \omega=\sqrt{k/m}.
(b) A é a amplitude e \varphi a fase inicial, obtidos de x(0) e \dot x(0).
(c) x(t)=A_{1}\cos(\omega t)+A_{2}\sin(\omega t), onde A_{1}=A\cos\varphi e A_{2}=-A\sin\varphi.
(d) x(t)=a\,e^{i\omega t}+b\,e^{-i\omega t}, com a=\tfrac{A}{2}e^{i\varphi} e b=\tfrac{A}{2}e^{-i\varphi}.